数学第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第2课时一课一练

18.2.2  菱形

第2课时  菱形的判定

一、选择题

    1．下列四边形中不一定为菱形的是（  ）

    A．对角线相等的平行四边形        B．每条对角线平分一组对角的四边形

    C．对角线互相垂直的平行四边形    D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形

    2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（  ）．

    A．1种             B．2种       C．3种       D．4种

    3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（  ）

A．8cm和4cm     B．4cm和8cm  

 C．8cm和8cm     D．4cm和4cm

二、填空题

4．如图1所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）

                     图1                         图2

    5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）

    6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．

7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．

三、解答题

8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．

四、思考题

9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．

参考答案

    一、1．A  点拨：本题用排除法作答．

    2．D  点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．

3．C  点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，

所以AC=AB=×32=8（cm），AO=AC=4cm．

因为AC⊥BD，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB==4（cm），

所以BD=2OB=8cm．

    二、4．AB=BC  点拨：还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．

    5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）

6．12cm；72cm2

点拨：如图所示，过D作DE⊥AB于E，

因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC=180°．

又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，

因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm．

在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，

所以ED=6cm，所以S菱形ABCD=12×6=72（cm2）．

7．4；4  点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，

又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，

由已知可得AE=2．在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，

所以DE=2，因为AC·BD=AB·DE，即AC·4=4×2，所以AC=4．

三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，

所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形． 

点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．

四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：

因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．

又因为OC=OD，

所以平行四边形PCOD是菱形．