北师大版必修43.1数乘向量精练

2020-2021学年北师大版必修4  2.3.1 数乘向量  作业

1、已知是不共线的向量，且，则（    ）.

A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线

C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线

2、已知平面内四点满足，则等于（    ）

A． B． C． D．

3、等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4、在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则（    ）

A． B． C． D．

5、如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

6、已知为的重心，，则（    ）

A． B． C． D．

7、设为所在平面内一点, ,若,则实数(    )

A． B． C． D．

8、在中，为线段上的一点，，且，则（     ）

A．， B．，

C．， D．，

9、在中，为边上的中线，点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

10、如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

11、如图所示，已知在中，，，交于点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

12、设中边上的中线为，点O满足，则（   ）

A． B． C． D．

13、如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，用向量，表示向量，则______.

14、化简：______.

15、如图所示，在△ABC中，已知点D在AB边上，且＝2，＝＋λCB，则λ＝________.

16、在平行四边形ABCD中，AD= ，AB=2，若 ，则 =_____．

17、如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，O＝a，O＝b，O＝c，试用a、b、c表示向量O.

18、（本题满分14分）

在平行四边形中，，，，．

（1）用表示；

（2）若，，，分别求和的值．

19、如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示向量、、、及.

参考答案

1、答案A

利用向量的加法以及向量的共线定理即可求解.

详解

，

∴A，B，D三点共线.

故选：A

名师点评

本题考查了向量的共线定理，需熟记定理内容，属于基础题.

2、答案C

利用向量的三角形法则和数乘运算法则即可得出.

详解

由，可得：，

，

，

，即.

故选：C.

名师点评

本题主要考查向量的三角形法则和数乘运算法则，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

3、答案AC

根据向量线性运算，求得的表达式，由此判断出正确选项.

详解

由于，，所以：

，A选项正确.

，B选项错误.

由于三点共线，所以且

，所以，解得.所以C选项正确.

，所以D选项不正确.

故选：AC

名师点评

本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

4、答案C

根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和平行四边形的性质进行求解即可.

详解：故选：C

名师点评

本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属于基础题.

5、答案D

由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.

详解：由题意，

所以.

故选：D.

名师点评

本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

6、答案D

首先根据题意得到为的中点，再利用向量加法的几何意义即可得到答案.

详解：如图所示：

因为，所以三点共线.

又因为为的重心，所以为的中点.

故.

故选：D.

名师点评

本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量加法的几何意义为解题的关键，属于简单题.

7、答案C

由，通过向量的线性运算化简即可求得.

详解

由，可得：，

即：，整理得：

，即：

，即，

即.

故选：C.

名师点评

本题考查向量的线性运算，属于基础题.

8、答案A

根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 ，利用平面向量基本定理求出x，y的值

详解

由题意，∵，

∴，即 ，

∴，即

故选：A．

名师点评

本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．

9、答案A

利用平面向量的加法和减法法则求解.

详解

由题得

=.

故选：A

名师点评

本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

10、答案D

利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.

详解：利用向量的三角形法则，可得，，

为的中点，为的中点，则，

又

.

故选D.

名师点评

本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.

向量的运算有两种方法：

一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：

（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；

（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；

二是坐标运算，建立坐标系转化为几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．

11、答案B

设，利用向量加法的三角形法则以及减法的几何意义可得，从而可得，再根据三点共线，可得，解得，即可求出

详解

设，

，，

，

，

三点共线，，解得，

，，

.

故选：B

名师点评

本题考查了向量加法、减法以及向量共线定理的推论，考查了学生基本知识的应用能力，属于基础题.

12、答案A

根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可．

详解

中边上的中线为，点O满足，如图所示：

由，且为的中点，所以为的三等分点靠近点，

且，，又，

从而，即，

所以+

=.

故选：A

名师点评

本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．

13、答案

在平行四边形中,因为点是边的中点,所以可以证明,且相似比为,从而证明出是的三等分点,同理也是的三等分点,进而可以利用向量的三角形法则求出.

详解

在平行四边形中,,

,

,且相似比为,

,即是的三等分点,

同理也是的三等分点,

,

故答案为:.

名师点评

本题考查了向量三角形法则的应用,结合了平面几何的知识,难度不大.

14、答案

直接利用个向量的加减法的法则，运算求得结果．

详解：解：

.

故答案为：．

名师点评

本题考查两个向量的加减法以及数乘的运算律，属于基础题．

15、答案

因为＝＋

＝＋＝＋(－)

＝＋，所以λ＝.

16、答案

由知点F 为BC中点

17、答案如图，连结AM并延长交BC于D点．

∵M是△ABC的重心，

∴D是BC的中点，

且AM＝AD.

∴A＝A＝ (A＋B)

＝A＋B

＝A＋＝A＋B

＝ (O－O)＋ (O－O)

＝ (b－a)＋ (c－b)＝－a＋b＋c，

∴O＝O＋A＝a＋

＝ (a＋b＋c)．

18、答案（1）     （2）-4

（1）．            

（2），．  

．                   

由（1）得，

19、答案∵四边形ACDE为平行四边形，

∴＝＝c. ＝－＝b－a.

＝－＝c－a. ＝－＝c－b.

∴＝＋＝b－a＋c.