人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列优秀同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列优秀同步达标检测题，共4页。

4．3．2等比数列的前n项和公式


1.（2020·黑龙江伊春二中高一期末）已知数列{an}是等差数列，若a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，则数列{an}的公差d等于( )


A．1 B．－1


C．2 D．－2


【答案】B


【解析】因为a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，所以(a4＋4)2＝(a2＋2)(a6＋6)，化简得d2＋2d＋1＝0，所以d＝－1.故选B.


2.（2020·江苏南京师大附中高一期末）设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )


A．1 B．0 C．1或0 D．－1


【答案】A


【解析】∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又{Sn}是等差数列，


∴an为定值，即数列{an}为常数列，


∴q＝eq \f(an,an－1)＝1(n≥2且n∈N*)．


3.（2019·浙江诸暨中学高一期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于( )


A．24 B．12 C．18 D．22


【答案】B


【解析】设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，


∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.


4.（2019·天津市新华中学高一月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－eq \f(1,6)，则x的值为( )


A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


【答案】C


【解析】方法一 ∵Sn＝x·3n－1－eq \f(1,6)＝eq \f(x,3)·3n－eq \f(1,6)，


由Sn＝A(qn－1)，得eq \f(x,3)＝eq \f(1,6)，∴x＝eq \f(1,2).


方法二 当n＝1时，a1＝S1＝x－eq \f(1,6)；


当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，


∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，


即2x·3－1＝x－eq \f(1,6)，解得x＝eq \f(1,2).


5.（2020·华东师大附属周浦中学高二月考）设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )


A．－2 B．－1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)


【答案】B


【解析】由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝eq \f(3,2)，将q＝eq \f(3,2)代入S2＝3a2＋2中得a1＋eq \f(3,2)a1＝3×eq \f(3,2)a1＋2，解得a1＝－1.


6.（2019·吉林蛟河一中高一月考）一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )


A．300米 B．299米


C．199米 D．166米


【答案】A


【解析】小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299eq \f(39,64)≈300(米)．


7．（2019·湖南衡阳市八中高一期中）已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq \f(4,3)，则{an}的前10项和等于 ( )


A．－6(1－3－10) B.eq \f(1,9)(1－3－10)


C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)


【答案】C


【解析】由3an＋1＋an＝0，得eq \f(an＋1,an)＝－eq \f(1,3)，


故数列{an}是公比q＝－eq \f(1,3)的等比数列．


又a2＝－eq \f(4,3)，可得a1＝4.


所以S10＝＝3(1－3－10)．


8.（2019·郑州市第二中学高一月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，则eq \f(S9,S6)等于( )


A．2 B.eq \f(7,3) C.eq \f(8,3) D．3


【答案】B


【解析】由题意知q≠1，否则eq \f(S6,S3)＝eq \f(6a1,3a1)＝2≠3.


∴eq \f(S6,S3)＝eq \f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝1＋q3＝3，


∴q3＝2.


∴eq \f(S9,S6)＝eq \f(\f(a11－q9,1－q),\f(a11－q6,1－q))＝eq \f(1－q9,1－q6)＝eq \f(1－23,1－22)＝eq \f(7,3).


9.【多选】（2019·山东省实验中学高二期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（ ）


A．B．


C．的最大值为D．的最大值为


【答案】AD


【解析】①, 与题设矛盾.


②符合题意.


③与题设矛盾.


④ 与题设矛盾.


得，则的最大值为.


B，C，错误.


故选：AD.


10.（2020·江西南昌二中高一期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.


【答案】3


【解析】S6＝4S3⇒eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(4·a11－q3,1－q)⇒q3＝3.


∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.


11.（2020·江苏淮阴中学高一期末）如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，且是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.


答案 2n－1


【答案】63


【解析】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a1＝2，,a3－a2＝22，,…,an－an－1＝2n－1.))


各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，


故an＝a1＋2n－2＝2n－1.


12.（2019·广西南宁三中高一月考）等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.


【答案】2


【解析】根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＝－80，,S偶＝－160.))∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2.


13.（2019·吉林长春十一高高一月考）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.


(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；


(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.


【解析】(1)证明 当n＝1时，S1－2S1＝1－4，故S1＝3，


得S1－1＋2＝4.


n≥2时原式转化为Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4，


即Sn＝2Sn－1－n＋4，


所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，


所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．


(2)解 由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，


于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n


＝eq \f(41－2n,1－2)＋eq \f(nn＋1,2)－2n＝eq \f(2n＋3＋n2－3n－8,2).


14已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq \f(1,2)n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.


(1)确定常数k，并求an；


(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(9－2an,2n)))的前n项和Tn.


【解析】(1)当n＝k∈N时，Sn＝－eq \f(1,2)n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－eq \f(1,2)k2＋k2＝eq \f(1,2)k2，故k2＝16，k＝4.


当n＝1时，a1＝S1＝－eq \f(1,2)＋4＝eq \f(7,2)，


当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(9,2)－n.


当n＝1时，上式也成立，综上，an＝eq \f(9,2)－n.


(2)因为eq \f(9－2an,2n)＝eq \f(n,2n－1)，


所以Tn＝1＋eq \f(2,2)＋eq \f(3,22)＋…＋eq \f(n－1,2n－2)＋eq \f(n,2n－1)， ①


所以2Tn＝2＋2＋eq \f(3,2)＋…＋eq \f(n－1,2n－3)＋eq \f(n,2n－2)， ②


②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋eq \f(1,2)＋…＋eq \f(1,2n－2)－eq \f(n,2n－1)


＝4－eq \f(1,2n－2)－eq \f(n,2n－1)＝4－eq \f(n＋2,2n－1).


故Tn＝4－eq \f(n＋2,2n－1).