人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系导学案

这是一份人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，总结升华，答案与解析等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；


2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.





【要点梳理】


知识点一、一元二次方程根的判别式


1.一元二次方程根的判别式


一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即


（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；


（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；


（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.


要点诠释：


利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.


2. 一元二次方程根的判别式的逆用


在方程中，


（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；


（2）方程有两个相等的实数根=0；


（3）方程没有实数根﹤0.


要点诠释：


（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；


（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.


知识点二、一元二次方程的根与系数的关系


1.一元二次方程的根与系数的关系


如果一元二次方程的两个实数根是，


那么，.


注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.


也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.





2.一元二次方程的根与系数的关系的应用


(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；


(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；


(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：


①；


②；


③；


④；


⑤；


⑥；


⑦；


⑧；


⑨；


⑩．





(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；


以两个数为根的一元二次方程是.


(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；


（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.


设一元二次方程的两根为、，则


①当△≥0且时，两根同号．


当△≥0且，时，两根同为正数；


当△≥0且，时，两根同为负数．


②当△＞0且时，两根异号．


当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；


当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．


要点诠释：


（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；


（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．





【典型例题】


类型一、一元二次方程根的判别式的应用


1．（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）


A．x2+2x+1=0B．x2+x+2=0C．x2﹣1=0D．x2﹣2x﹣1=0


【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．


【答案】B．


【解析】


解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；


B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；


C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；


D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；


故选：B．


【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．


举一反三：


【变式】不解方程，判别方程根的情况： .


【答案】无实根.





2．（2015•本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．


【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.


【答案】k＜2且k≠1；


【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，


∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，


解得：k＜2且k≠1．


故答案为：k＜2且k≠1．


【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.


举一反三：【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.


【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，


∴关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.





类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用


3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．


【思路点拨】


根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．


【答案与解析】


方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，


得，，从而解得：，k＝-7．


方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．


设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，


得，从而，


故方程的另一根为，k的值为-7．


【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值．


举一反三：





【变式】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．


【答案】另一根为-1；的值为-3．





4．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．


（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；


（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．





【答案与解析】


解：（1）△=（m+2）2﹣8m


=m2﹣4m+4


=（m﹣2）2，


∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，


∴△≥0，


∴方程总有实数根；


（2）解方程得，x=，


x1=，x2=1，


∵方程有两个不相等的正整数根，


∴m=1或2，m=2不合题意，


∴m=1．


【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．