3.5与直线有关的参数范围问题专项测试-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题3.5  与直线有关的参数范围问题专项测试

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.

2．（2020·沙坪坝重庆一中高一期末）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为，或，所以或，解得或.

3.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　)

A．若c＞0，则a＞0，b＞0

B．若c＞0，则a<0，b＞0

C．若c＜0，则a>0，b<0

D．若c<0，则a>0，b＞0

【答案】D 

【解析】由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－，直线在x、y轴上的截距分别为－、－.

如题图，k<0，即－＜0，∴ab>0.∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0.

若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a＜0，b＜0.

3．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】C

【解析】解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得，解得m∈.

4．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）

A．k≥2或k≤    B．≤k≤2 C．k≥ D．k≤2

【答案】A

【解析】因为，，结合图象可知，当或时，则直线与线段相交，故选A．

5．（2020·江苏启东中学高一开学考试）直线的倾斜角的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】将直线方程化为斜截式:,故直线的斜率,,,所以直线的倾斜角范围为,

6．（2020·四川省泸县第四中学）已知点，，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（   ）

A．或  B．或

C． D．

【答案】A

【解析】因为直线方程为，即，所以直线过定点，

根据，，直线与线段相交，可绘出图像：

因为，，所以直线的斜率的取值范围为或 ．

7．（2020·福建省仙游县枫亭中学高一期末）过定点（1,0）的直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】作示意图如下：

设定点为点，则，，故由题意可得的取值范围是

8．（2020·湖南高新技术产业园区衡阳市一中高一期末）设点,,若直线与线段没有交点,则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】 直线与线段没有交点，即直线与线段没有交点对于直线,令,则,则直线恒过点，根据题意,作出如下图像:

,，根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为，,， 根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为，直线的斜率为

若直线与线段没有交点，则.

9．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)

A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0

C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1

【答案】C

【解析】由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1,1)在

l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.

10．若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设直线的倾斜角为α，斜率为k，则，又α为钝角，∴，即，故，因为关于a的函数的对称轴为，

∴，∴实数m的取值范围是.

11．设直线l:上存在点P到点A(3，0)，O(0，0)的距离之比为2，则实数m的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设直线上点，由两点间的距离公式得，两边平方化简得，由于点存在，故上述一元二次方程有实数根，所以，化简得，解得.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·贵州省思南中学高一期中）已知直线斜率的取值范围是，则的倾斜角的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为直线斜率的取值范围是，所以当斜率时，倾斜角，

当斜率时，倾斜角，综上倾斜角的取值范围。

14．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；

【答案】

【解析】由直线，即，此时直线恒过点， 则直线的斜率，直线的斜率，若直线与线段相交，则，即， 所以实数的取值范围是．

15．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．

【答案】

【解析】因为sin α∈[－1，1]，所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．

16．（2020·江苏省清江中学高一月考）已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____，的范围是_____.

【答案】       

【解析】根据题意画出线段AB如下图所示：

直线AB的方程为，的几何意义为与连线斜率，，

所以；的几何意义为与距离的平方，由点到距离公式可知，,所以。

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

【解析】(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；

当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标

轴上的截距相等，所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，

所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以或，

解得a≤－1.  综上所述，a≤－1.

18．已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．

【解析】设l的斜率为k，倾斜角为α，

当m＝1时，斜率k不存在，α＝90°，

当m≠1时，k＝＝，

当m＞1时，k＝＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，

当m＜1时，k＝＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.

所以α∈(0°，180°)，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．

19.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，求直线FD的斜率的取值范围．

【解析】从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．

20．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，求实数b的取值范围。

【解析】法一：(1)当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时，如图①所示．

易求得：xM＝－，yN＝.由已知条件得：·＝1，∴a＝.

∵点M在线段OA上，∴－1<－<0，∴0<b<a.∵点N在线段BC上，

∴0<<1，∴b<1.由解得<b<.

(2)当直线y＝ax＋b与AC，BC相交时，如图②所示．设MC＝m，NC＝n，

则S△MCN＝mn＝，∴mn＝1.显然，0<n<，∴m＝>.又0<m≤且m≠n.

∴<m≤且m≠1.设D到AC，BC的距离为t，则＝，＝，

∴＋＝＋＝1.∴t＝，∴＝＋＝＋m.而f(m)＝m＋的值域为，即2<≤，∴≤t＜.∵b＝1－CD＝1－t，∴1－＜b≤.综合(1)、(2)可得：1－<b<.

法二：由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－。