综合测试（一）-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      综合测试（一）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））设，集合，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B

2．（2020·绥德中学高二期末（文））设, 则 “”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.

3．（2020·遵义市南白中学高三其他（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，

∴，即，

∴，故选：D.

4．（2020·高青一中高一月考）已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是（    ）

A．7 B．1 C．5 D．

【答案】D

【解析】∵是一元二次方程的两实根，

∴，

∴．故选：D

5．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（    ）.

A．200吨 B．300吨 C．400吨 D．600吨

【答案】C

【解析】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每旽的平均处理成本最低.故选;C

6．（2020·江苏省高一期中）定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】A

【解析】若函数单调，则的长度最小，若函数单调递增，

，此时区间长度是1，若函数单调递减，

则，此时区间长度是1，所以区间的长度的最小值是1，

若函数在区间不单调，值域又是，则区间的最大值，

此时区间长度是，则区间的长度的最大值和最小值的差是.

故选：A

7．（2020·河北省衡水中学高三月考（理））直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，

所以，，

由，得，

所以在上是增函数，

由，

解得.

故选：B

8．（2020闽侯县第六中学高三月考（文））直角坐标系内，两点满足：（1）点，都在的图像上；（2）点，关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹对点”，与可看作一个“姊妹对点”，已知函数，则的“姊妹对点”有（ ）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】根据题意可知，“姊妹对点”满足两点：都有函数图象上，且关于坐标原点对称，可作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可，如图所示，当时，，观察图象可得：它们由两个交点，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．已知集合，，1，，若，则实数可以为（    ）

A． B．1

C．0 D．以上选项都不对

【答案】ABC

【解析】集合，，1，，，

或或，不存在，，，

解得，或，或．故选：ABC．

10．（2020·湖南省衡阳市一中高二期末）（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.故选AD.

11．（2020·福建省宁化第一中学高一月考）已知函数，则以下说法中正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．在上单调递减

C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为

【答案】ABC

【解析】依题意

.

所以的最小正周期为，A选项正确.

由，解得，所以在上单调递减，B选项正确.

，所以是的一个对称中心，C选项正确.

由于，所以D选项错误.故选：ABC

12．（2020·山东省高三一模）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是(    )

A．

B．点是函数的图象的一个对称中心

C．函数在上单调递增

D．函数在上有3个零点

【答案】AB

【解析】在中，令，得，又函数是上的奇

函数，所以，，故是一个周期为4的奇函

数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，

故A、B正确；作出函数的部分图象如图所示，

易知函数在上不具单调性，故C不正确；函数在上有7个零点，故D不正确.

故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2020·辽宁省沈阳铁路实验中学高一期中）已知函数则的值是________.

【答案】11

【解析】由，

所以.

故答案为：11

14．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知，则关于x的不等式的解集是________．

【答案】

【解析】关于的不等式等价于，

由，得，所以不等式的解集为.故答案为：..

15．（2020·广东省高一期末）已知，，，则______.

【答案】

【解析】因为所以

又因为，所以，

所以

=

故答案为：

16．（2020·四川省宜宾市第四中学校高一期中）关于函数，有以下四个命题：①函数在区间上是单调增函数；②函数的图象关于直线对称；③函数的定义域为；④函数的值域为.其中所有正确命题的序号是________.

【答案】①②④

【解析】

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以①正确；

函数，函数的图象关于直线对称，所以②正确；

函数的定义域是，所以③不正确；

函数，函数的值域是实数集，所以④正确.

故答案为：①②④.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）17．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）已知集合，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

【解析】

                                      （3分）

（1）因为，所以或，即或．

所以的取值范围是；                                        （6分）

（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则，解得．

所以的取值范围是．                                                   （9分）

18．（2020·江西省南昌二中高二月考（理））函数是定义在上的奇函数，且.

（1）确定的解析式；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）解关于的不等式.

【解析】（1）由函数是定义在上的奇函数知

所以解得,经检验,时是上的奇函数,满足题意               （3分）

又解得故,.                                （4分）

（2）在上为增函数.证明如下：

在任取且

则,                                 （6分）

因为,,,,

所以

即,

所以在上为增函数.                                                         （8分）

（3）因为为奇函数所以

不等式可化为,

即

又在上是增函数,

所以,

解得

所以关于的不等式解集为  （12分）

19．（2020·北京高二期末）已知函数，（，且）.

（1）当时，若，求x的取值范围；

（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由.

【解析】（1）时，，

若，即，

则.                                                                  （6分）

（2）由题 ，关于原点对称

又，

，

∴为奇函数.                                                       （12）

20．（2020·浙江省高三其他）已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为.

（1）求的值以及的单调递减区间；

（2）若且，求的值.

【解析】（1）

.

由于图像上相邻两个最低点的距离为，                              （3分）

所以.

所以.

由，解得，

所以的单调减区间为（）.                      （6分）

（2）由（1）得.

依题意，，，

而，所以，

所以.

所以

.                                            （12分）

21．（12分）（2020·武功县普集高级中学高一月考）已知函数的一系列对应值如下表：

（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；

（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.

【解析】 (1)绘制函数图象如图所示：

设的最小正周期为，得．由得．             （3分）

又解得,

令，即，，

据此可得：，又，令可得．

所以函数的解析式为．                                    （6分）

(2)因为函数的周期为，又，所以．

令，因为，所以．

在上有两个不同的解，等价于函数与的图象有两个不同的交点，，                                                             （9分）

所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，

即实数的取值范围是．

                                      （12分）

22．（12分）（2020·安徽省六安一中高一月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，

（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

22.【解析】（1）依题意设，

，

；                                                （6分）

（2）设投资股票等风险型产品为万元，

则投资债券等稳健型产品为万元，

，

当万元时，收益最大万元，

20万元资金，投资债券等稳健型产品为万元，

投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为3万元.                                 （12分）