3.3 幂函数-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第一册）

3.3 幂函数

1. 幂函数的概念；2. 幂函数的图象；3. 幂函数的简单性质；4. 幂函数图象和性质的应用

一、单选题

1．（2020·全国高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

因为，所以是幂函数；

由于出现系数2，因此不是幂函数；

是两项和的形式，不是幂函数；

（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.

故选：B.

2．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C.在区间上单调递增函数，故选A．

3．（2020·湖北高一期末）有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【解析】

①只满足值域是，且；③只满足在上是增函数；④只满足在上是增函数；②是偶函数，在上是增函数，但其值域是.

故选：B.

4．（2020·浙江高一课时练习）若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设，

联立得，

因为，

所以，

由它们的图象可知的取值范围是.

故选：C.

5．（2020·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（    ）

A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

【答案】A

【解析】

当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；

当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；

当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，

故选：A.

6．（2020·全国高一课时练习）以下结论正确的是（    ）

A．当时，函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过、两点

C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大

D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限

【答案】D

【解析】

对于A选项，当时，函数的定义域为，

所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；

对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；

对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；

对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，

若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.

故选：D.

7．（2020·浙江高一课时练习）已知点在幂函数的图象上，则是(   )

A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数

【答案】A

【解析】

由题意，设幂函数的解析式为，

又由点在幂函数的图象上，所以，解得，即，

又由函数的定义域为关于原点对称，

又由，所以函数为奇函数，故选A．

8．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（    ）

A．，均为奇数，且 B．为偶数，为奇数，且

C．为奇数，为偶数，且 D．为奇数，为偶数，且

【答案】D

【解析】

由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，

因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.

故选：D.

9．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ）

A．y＝x2 B． C． D．y=x-2

【答案】B

【解析】

由图象知，幂函数的性质为：

（1）函数的定义域为；

（2）当时，，且；当时，，且；

所以可能是.

故选B.

10．（2020·浙江高二期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ）

A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断

【答案】B

【解析】

由题可知：函数是幂函数

则或

又对任意的且，满足

所以函数为的增函数，故

所以，又，

所以为单调递增的奇函数

由，则，所以

则

故选：B

点睛：函数单调递增的几种表示，比如.

二、多选题

11．（2020·琼山 海南中学高三月考）若幂函数的图象经过点，则幂函数是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

【答案】AC

【解析】

设幂函数为：，

因为其图象经过点，

所以，

解得，

所以幂函数.

因为定义域为R，且，

所以是奇函数，

又因为，

所以在R上是增函数.

故选：AC

12．（2020·江苏启东 高一期末）已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象过原点

B．函数是偶函数

C．函数是单调减函数

D．函数的值域为R

【答案】AD

【解析】

由于幂函数过点，所以，解得，所以.

，满足，A选项正确.

是奇函数，所以B选项错误.

在上递增，所以C选项错误.

值域为，所以D选项正确.

故选：AD

13．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则.

【答案】ACD

【解析】

将点(4,2)代入函数得：，则.

所以，

显然在定义域上为增函数，所以A正确.

的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.

当时，，即，所以C正确.

当若时，

=.

=.

==.

即成立，所以D正确.

故选：ACD.

14．（2020·全国高一课时练习）已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

E.

【答案】ACE

【解析】

画出与的图象（如图），设，作直线.

从图象知，若或1，则；

若，则；

若；则.

故其中可能成立的是ACE.

故选：ACE

三、填空题

15．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知幂函数的图象过点，则______．

【答案】4

【解析】

由题意令，由于图象过点，

得，

故答案为：4．

16．（2020·浙江高一课时练习）若成立，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），

由图象可知不等式的解集为.

17．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.

【答案】

【解析】

当时，幂函数和直线第一象限的图像如下

由图可知，不满足题意

当时，幂函数和直线重合，不满足题意

当时，幂函数和直线第一象限的图像如下

由图可知，满足题意

当时，幂函数和直线第一象限的图像如下

由图可知，满足题意

当时，幂函数和直线第一象限的图像如下

由图可知，满足题意

综上，

故答案为

四、双空题

18．（2019·全国高一课时练习）直接比较下列组中两个值的大小：

（1）______；    （2）______.

【答案】       

【解析】

（1），，，

幂函数在上为增函数，所以，，因此，；

（2）幂函数在上为增函数，.

指数幂的大小比较，常用的有如下几种方法：

（1）底数不同，指数相同，可以利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；

（2）底数不同，指数也不同，可以利用中间值法来比较大小.

19．（2020·江苏无锡 高一期末）已知幂函数的图像过点，则_______，由此，请比较下列两个数的大小：_______.

【答案】       

【解析】

 (1)因为幂函数的图像过点,故.

(2)因为,故.

即.

故答案为：(1).     (2).

20．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数的图象过点，则______，的定义域为______．

【答案】2       

【解析】

设幂函数，其图象过点，；解得，，故，

由，解得：，故函数的定义域为：.

故答案为2，

21．（2019·浙江高一期中）已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．

【答案】       

【解析】

设幂函数，由，得到，于是；

若，则，所以，解得．

故答案为；

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）先分析函数的性质，再画出其图象．

【答案】答案见解析

【解析】

函数解析式为，该函数的定义域为，

令，则，该函数为偶函数，

且函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，

，所以，函数在第一象限的图象呈“上凸”状，作出该函数的图象如下图所示：

23．（2020·上海高一课时练习）设函数，作出的图像并讨论其性质．

【答案】见解析

【解析】

因为，

所以将幂函数的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图：

其定义域为：，值域为：，函数为非奇非偶函数，图像关于对称，在上单调递增，在上单调递减.

24．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围.

【答案】或.

【解析】

因为函数在上单调递减，所以，

解得.

又因为，所以，；

因为函数的图象关于轴对称，

所以为偶数，故.

则原不等式可化为，

因为在，上单调递减，

所以或或，

解得或.

故的取值范围是或.

25．（2020·全国高一课时练习）已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，

问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

【答案】答案见解析

【解析】

设f(x)＝xα，由题意得2＝⇒α＝2，∴f(x)＝x2.

同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．

由图象可知：(1)当x>1或x<−1时，f(x)>g(x)．

(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．

(3)当−1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．

26．（2020·浙江高一课时练习）已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.

【答案】

【解析】

因为幂函数时，函数在上单调递减，二次函数开口向下，在单调递减， 所以有，解得.

故实数的取值范围是：

27．（2020·上海高一课时练习）已知函数，问当m取什么值时这个函数是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）幂函数且在上为增函数．

【答案】（1）；（2）或0；（3）

【解析】

解：（1）若是正比例函数，

则，

由得，解得或，

此时满足得．

（2）若是反比例函数，

则由且，

得；得或，

此时满足得；

（3）若是幂函数，

则，即，此时或，

当时在上单调递减，不符题意，舍去；

当时在上单调递增，符号题意；

即．