专题1.3 集合的基本运算-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题1.3  集合的基本运算

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝(　　)

A．{0，1}　　　　　　　 B．{－1，0，1}

C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}

【答案】B

【解析】由题意，得M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{－1，0，1}．

2.已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{2} B．{3}

C．{－3，2} D．{－2，3}

【答案】A

【解析】注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.

3．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是(　　)

A．t<－3 B．t≤－3

C．t>3 D．t≥3

【答案】A

【解析】B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.

4．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为(　　)

A．3　　　　　　　　　　 B．4

C．5 D．6

【答案】B

【解析】∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，

∴∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，

又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，

∴(∁UA)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素．

5．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于(　　)

A．0或2 B．0

C．1或2 D．2

【答案】D

【解析】由题意，知，则a＝2.

6.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|0≤x≤3 }，B＝{x|x≥1}，则A*B＝(　　)

A．{x|1≤x<3} B．{x|1≤x≤3}

C．{x|0≤x<1或x>3} D．{x|0≤x≤1或x≥3}

【答案】C

【解析】由题意，知A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，则A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．

7．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是(　　)

A．2　　　 B．－2　　　　

C．8　　　　 D．－8

【答案】AC

【解析】∵A∪(∁UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.

8(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】ABC

【解析】A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，

∵A∩B＝B，∴B⊆A.

当B＝∅时，ax－2＝0无解，∴a＝0.

当B≠∅时，x＝，

∴＝1或＝2，解得a＝2或a＝1.

∴实数a的值为0或1或2.故选A、B、C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝__________．

【答案】{x|x<0或x≥1}

【解析】因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}．

10．若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x的值为________．

【答案】±

【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A.

∵A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，

∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验，当x＝或－时满足题意．

11．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．

【答案】{a|－3≤a<－1}

【解析】由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，

则，解得－3≤a<－1.

12.(一题两空)已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．

(1)当m＝1时，A∪B＝________；

(2)若B⊆∁RA，则实数m的取值范围为________．

【答案】(1){x|－1<x<4}　(2)

【解析】(1)m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，

A∪B＝{x|－1<x<4}．

(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．

当B＝∅，即m≥1＋3m时，

得m≤－，满足B⊆∁RA；

当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，

则或

解得m>3.

综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．已知集合A＝{x|3≤x≤9}，B＝{x|2<x<5}，C＝{x|x>a}．

(1)求A∪B；

(2)若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．

【解析】(1)由A＝{x|3≤x≤9}，B＝{x|2<x<5}，得A∪B＝{x|2<x≤9}．

(2)由B∩C＝∅，B＝{x|2<x<5}，

C＝{x|x>a}，得a≥5，

故实数a的取值范围是{a|a≥5}．

14．已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(∁AB)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由．

【解析】假设存在x，使B∪(∁AB)＝A，∴BA.

①若x＋2＝3，则x＝1符合题意．

②若x＋2＝－x，则x＝－1不满足A或B中元素的互异性不符合题意．

∴存在x＝1，使B∪(∁AB)＝A，

此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．

15.设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．

(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；

(2)若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求实数a的值；

(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值．

【解析】(1)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，

因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则A＝{2，3}，

所以，解得a＝5.

(2)因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，B＝{2，3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，

所以－4∉A，2∉A，3∈A，所以32－3a＋a2－19＝0，

即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.

当a＝－2时，A＝{－5，3}，满足题意；

当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去．

综上可知，a＝－2.

(3)因为A∩B＝A∩C≠∅，

B＝{2，3}，C＝{－4，2}，

所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0，

即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3.

当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去；

当a＝－3时，A＝{－5，2}，满足题意．

综上可知，a＝－3.

16．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

【解析】(1)因为A＝{x|0≤x≤2}，

所以∁RA＝{x|x<0或x>2}．

因为(∁RA)∪B＝R，所以

解得－1≤a≤0.

所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．

(2)因为A∩B＝∅，所以a>2或a＋3<0，

解得a>2或a<－3.

由(1)知，若(∁RA)∪B＝R，则－1≤a≤0，

故不存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅.