专题5.4 三角函数的图象和性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

     专题5.4 三角函数的图象和性质

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，则，故选：B.

2．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值为,而函数在对称轴处取最值.故选:.

3．已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，函数在区间上的最小值为，

所以时，，所以，，

时，，所以，，

所以的范围是．

故选：D．

4．已知函数，则以下结论错误的是（    ）

A．为偶函数 B．的最小正周期为

C．的最大值为2 D．在上单调递增

【答案】C

【解析】由题知，①，

则A选项，A选项正确.

B选项，，所以的最小正周期为，B选项正确.

C选项，由①知，所以选项C不正确.

D选项，当时，，由解得（），令可得，所以在上单调递增，所以D选项正确.

综上所述，不正确的选项为C.故选：C

5．已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据的最小正周期为，故可得，解得.

又其关于中心对称，故可得，又，

故可得.则.

令，

解得.

故在单调递增.

又，且都在区间中，

且，故可得.故选：.

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，其定义域为．

当在第一象限时，，当在第三象限时，，当在第二象限时，，当在第四象限时，，结合定义域可知选B.

故选：B

7．已知函数在区间上单调递增，则实数的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】因为，所以，

所以在单调递增，所以，解得，

所以的取值范围是

故选：AB.

8．已知函数，下列结论正确的有（    ）

A．函数是奇函数；

B．函数是周期函数，且周期为2；

C．函数的最小值为-2；

D．函数的图象关于直线对称.

【答案】BCD

【解析】对于，因为，

所以不是奇函数，故选项错误；

对于，，故是周期函数，2为的一个周期，故选项正确；

对于，，

故，故选项正确；

对于，因为

所以，

所以函数的图象关于直线对称.

故选项正确.故选：BCD.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．已知函数的图象关于直线对称，则_____.

【答案】

【解析】∵函数的周期为π，它的图象关于直线对称，

∴f（0）＝f（）＝1，∴a，

∴f（），

10．函数，为偶函数，则的值为______

【答案】

【解析】因为为偶函数，故轴为其图象的对称轴，

所以，故，

因为，故

11．函数的值域是________

【答案】

【解析】,

设，，则，

当时，函数有最大值为；当时，函数有最小值为.

故函数值域为.

12．已知函数，则的最大值为________，若在区间上是增函数，则的取值范围是________.

【答案】2       

【解析】因为函数，所以，

所以的最大值为2，因为在区间上是增函数，

所以，所以，解得.

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．设函数.

（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；

（2）作出函数在一个周期内的简图．

【解析】（1），.

令，，解得，，

故对称中心为.

（2）令，解得，令，解得，

令，解得，令，解得，

令，解得，

所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，

在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.

故函数在一个周期内的函数图象为：

14．已知函数．

（1）求的最大值及取得最大值时的值；

（2）求的单调递减区间．

【解析】（1）令，即时，

取最大值1．

（2）由

得的减区间为，

15．设函数，的图像的一条对称轴是直线．

（1）求；

（2）求函数在的值域．

【解析】（1）因为是函数的图像的对称轴，所以.

所以，，得，又，

所以时，.

（2）由（1）可得，，

令，，则，

则，根据正弦函数的图象得

16．已知函数，．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.

【解析】（1），所以，该函数的最小正周期为.

解不等式，得.

因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；

（2），.

当时，即当时，函数取得最大值，即；

当时，即当时，函数取得最小值，即.