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初中数学人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试精品同步练习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试精品同步练习题，共9页。
能力提升
满分120分 时间100分钟
一．选择题（每题3分，共计30分）
1．（2020•郑州二模）在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒体积较大，直径约为0.000 000 125米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，比艾滋病毒和丙型肝炎的基因组大三倍以上，比流感的基因组大两倍．0.000000125用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×10﹣6B．1.25×10﹣7C．1.25×106D．1.25×107
【答案】B
【解答】0.000000125用科学记数法表示为1.25×10﹣7．
故选：B．
2．（2019•方城县期末）当x＝﹣1时，分式x+22x+m无意义，则m的值是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【答案】D
【解答】∵当x＝﹣1时，分式x+22x+m无意义，
∴2x+m＝0，
则﹣2+m＝0，
解得：m＝2．
故选：D．
3．（2019•临颍县期末）若分式b2-1b2-2b-3的值为0，则b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．2
【答案】A
【解答】由题意，得
b2﹣1＝0且b2﹣2b﹣3≠0，
解得b＝1，
故选：A．
4．（2020•三台县期末）分式2x23x-2y中的x，y同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．是原来的2倍C．是原来的4倍D．是原来的12
【答案】B
【解答】∵分式2x23x-2y中的x，y同时扩大2倍，
∴分子扩大4倍，分母扩大2倍，
∴分式的值是原来的2倍．
故选：B．
5．（2020 •方城县期中）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．x2y2B．2x+y2xy+y2C．a+2a+1D．x2+y2x2-y2
【答案】B
【解答】A、x2y2是最简分式，不符合题意；
B、2x+y2xy+y2=1y不是最简分式，符合题意；
C、a+2a+1是最简分式，不符合题意；
D、x2+y2x2-y2是最简分式，不符合题意；
故选：B．
6．（2018•白云区期末）分式2x2y(x+y)2与x2x2-y2的最简公分母是（ ）
A．x4﹣y4B．（x+y）2（x2﹣y2）
C．（x﹣y）4D．（x+y）2（x﹣y）
【答案】D
【解答】∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
∴（x+y）2与x2﹣y2的最简公分母为（x+y）2（x﹣y），
故选：D．
7．（2020 •宛城区期中）化简a2a-1-1-2a1-a的结果为（ ）
A．a+1a-1B．a﹣1C．aD．1﹣a
【答案】B
【解答】原式=a2a-1+1-2aa-1
=(a-1)2a-1
＝a﹣1．
故选：B．
8．（2020•河南模拟）下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）
A．2x-1=x+2x+1-1去分母得，2（x+1）＝（x﹣1）（x+2）﹣1
B．x3x-7+77-3x=1去分母得，x+7＝3x﹣7
C．x-3x+3+x+3x2-9=xx-3去分母得，（x﹣3）2﹣x+3＝x（x+3）
D．3x+4=1x-2去分母得，3（x﹣2）＝x+4
【答案】D
【解答】A、2x-1=x+2x+1-1去分母得：2（x+1）＝（x﹣1）（x+2）﹣（x+1）（x﹣1），不符合题意；
B、x3x-7+77-3x=1去分母得：x﹣7＝3x﹣7，不符合题意；
C、x-3x+3+x+3x2-9=xx-3去分母得：（x﹣3）2+x+3＝x（x+3），不符合题意；
D、3x+4=1x-2去分母得：3（x﹣2）＝x+4，符合题意．
故选：D．
9．（2020 •南召县期末）若数a使关于x的分式方程2x-1+a1-x=4的解为正数，则a的取值正确的是（ ）
A．a＜6且a≠2B．a＞6且a≠1C．a＜6D．a＞6
【答案】A
【解答】分式方程整理得：2x-1-ax-1=4，
去分母得：2﹣a＝4x﹣4，
解得：x=6-a4，
由分式方程的解为正数，得到6-a4＞0，且6-a4≠1，
解得：a＜6且a≠2．
故选：A．
10．（2020•宜宾模拟）抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ）
A．+＝﹣2B．+＝+2
C．＝﹣2D．＝﹣2
【答案】A
【解答】设原来每天生产x台呼吸机，
根据题意可列方程：+＝﹣2，
故选：A．
二．填空题（每题3分，共计15分）
11．（2020•开鲁县期末）约分：-25a2bc315ab2c= ．
【答案】-5ac23b
【解答】-25a2bc315ab2c=5abc⋅(-5ac2)5abc⋅3b=-5ac23b．
故答案为-5ac23b．
12．（2020 •宛城区期中）化简x2÷x•y6x（x-y2）3＝ ．
【答案】﹣x3
【解答】x2÷x•y6x（x-y2）3＝x•y6x•（-x3y6）＝﹣x3；
故答案为：﹣x3．
13.（2020 •浦东新区期末）用换元法解方程﹣＝1，设y＝，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ．
【答案】y2+y﹣2＝0
【解答】方程﹣＝1，
若设y＝，
把设y＝代入方程得：﹣y＝1，
方程两边同乘y，整理得y2+y﹣2＝0．
故答案为y2+y﹣2＝0．
14．（2015春•太康县期末）从多项式4x2+4xy+y2，2x+y，4x2﹣y2中，任选两个，其中一个作分子，另一个作分母，组成一个分式，写出化简后的结果 ．
【答案】12x-y（答案不唯一）
【解答】解：2x+y作分子，4x2﹣y2作分母，则
2x+y4x2-y2=2x+y(2x+y)(2x-y)=12x-y．
故答案为12x-y（答案不唯一）．
15．（2020•滨州模拟）数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：112-115=110-112．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是 ．
【答案】15
【解答】解：∵x＞5
∴x相当于已知调和数15，
代入得，13-15=15-1x，
解得，x＝15．
经检验得出：x＝15是原方程的解．
故答案为：15．
三．解答题（共75分）
16．（8分）（2020 •淇县期中）计算：当m为何值时，关于x的方程2x+1+51-x=mx2-1会产生增根？
解：方程得两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m．
化简，得
m＝﹣3x﹣7．分式方程的增根是x＝1或x＝﹣1．
当x＝1时，m＝﹣3﹣7＝﹣10，
当x＝﹣1时，m＝3﹣7＝﹣4，
当m＝﹣10或m＝﹣4时，关于x的方程2x+1+51-x=mx2-1会产生增根．
17．（9分）（2020•鼓楼区二模）（1）化简﹣；
（2）解方程﹣＝0．
解：（1）原式＝﹣
＝
＝；
（2）分式方程﹣＝0，
去分母得：x+1﹣2＝0，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x2﹣1＝0，
∴x＝1是增根，
则分式方程无解．
18．（9分）（2019•大城县一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
19．（9分）（2020•葫芦岛三模）先化简，再求值：÷（﹣2）其中a＝20200﹣（） ﹣1，
解：原式＝÷
＝•
＝﹣，
当a＝1﹣2＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣．
20. （9分）（9分）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3，
（1）当a＝3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
解：（1）当a＝3时，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；
（2）猜想：M＜N，理由：MN=a+1a+2⋅a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4，
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．
21．（10分）（2020•淮滨县期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式4x+2，3x2x3-4x是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式x+1x-1，x2x+1是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，x+1x-1=(x-1)+2x-1=1+2x-1．
（1）将假分式2x-1x+1化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式x2x+1的值为整数，求x的整数值．
解：（1）由题可得，2x-1x+1=2(x+1)-3x+1=2-3x+1；
（2）x2x+1=x2-1+1x+1=(x+1)(x-1)+1x+1=x﹣1+1x+1，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
22．（10分）（2020•川汇区期末）已知一个长方形的面积为6，它的一边为x，它的另一边长为y，周长为p．
（1）填空：（用含x的代数式表示）y＝ 6x ；②p＝ 2x+12x ；
（2）当x值从2增大到a+2时，y的值减少了2，求增量a的值；
（3）当x＝m时，p的值为p1；当x＝m+1时，p的值为p2，求p2﹣p1的值，并化成最简分式．
解：（1）由题意可得：y=6x，；②p＝2x+12x；
故答案为：6x；2x+12x；
（2）依据题意可得：
62-6a+2=2，
解得：a＝4；
经检验得：a＝4是原方程的根；
（3）∵p1＝2m+12m，p2＝2（m+1）+12m+1，
∴p2﹣p1＝2（m+1）+12m+1-2m-12m
＝2-12m2+m
=2m2+2m-12m2+m．
23．（10分）（2019 •河南期末）“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品．购进甲种礼品共花费1500元，购进乙种礼品共花费1050元，购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元．
（1）求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元；
（2）元旦前夕，礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个．恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整，一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了20%，一件乙种礼品价格比第一次购进时降低了5元．如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元，那么这家礼品店最少可购进多少件甲种礼品？
解：（1）设购买一件甲种礼品需x元，则购买一件乙种礼品需（x+20）元．
根据题意，得1500x=2×1050x+20．
方程两边乘x（x+20）得 1500（x+20）＝2×1050x．
解得 x＝50．
检验：当 x＝50时，x（x+20）＝50×（50+20）≠0．
所以，x＝50是原分式方程的解．
x+20＝50+20＝70．
答：购买一件甲种礼品需50 元，购买一件乙种礼品需70元．
（2）设这所礼品店可购进a件甲种礼品．
根据题意得 50×（1+20%）a+（70﹣5）×（50﹣a）≤3100．
解得 a≥30．
答：这所礼品店最少可购进30件甲种礼品．
能力提升
满分120分 时间100分钟
一．选择题（每题3分，共计30分）
1．（2020•郑州二模）在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒体积较大，直径约为0.000 000 125米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，比艾滋病毒和丙型肝炎的基因组大三倍以上，比流感的基因组大两倍．0.000000125用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×10﹣6B．1.25×10﹣7C．1.25×106D．1.25×107
【答案】B
【解答】0.000000125用科学记数法表示为1.25×10﹣7．
故选：B．
2．（2019•方城县期末）当x＝﹣1时，分式x+22x+m无意义，则m的值是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【答案】D
【解答】∵当x＝﹣1时，分式x+22x+m无意义，
∴2x+m＝0，
则﹣2+m＝0，
解得：m＝2．
故选：D．
3．（2019•临颍县期末）若分式b2-1b2-2b-3的值为0，则b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．2
【答案】A
【解答】由题意，得
b2﹣1＝0且b2﹣2b﹣3≠0，
解得b＝1，
故选：A．
4．（2020•三台县期末）分式2x23x-2y中的x，y同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．是原来的2倍C．是原来的4倍D．是原来的12
【答案】B
【解答】∵分式2x23x-2y中的x，y同时扩大2倍，
∴分子扩大4倍，分母扩大2倍，
∴分式的值是原来的2倍．
故选：B．
5．（2020 •方城县期中）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．x2y2B．2x+y2xy+y2C．a+2a+1D．x2+y2x2-y2
【答案】B
【解答】A、x2y2是最简分式，不符合题意；
B、2x+y2xy+y2=1y不是最简分式，符合题意；
C、a+2a+1是最简分式，不符合题意；
D、x2+y2x2-y2是最简分式，不符合题意；
故选：B．
6．（2018•白云区期末）分式2x2y(x+y)2与x2x2-y2的最简公分母是（ ）
A．x4﹣y4B．（x+y）2（x2﹣y2）
C．（x﹣y）4D．（x+y）2（x﹣y）
【答案】D
【解答】∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
∴（x+y）2与x2﹣y2的最简公分母为（x+y）2（x﹣y），
故选：D．
7．（2020 •宛城区期中）化简a2a-1-1-2a1-a的结果为（ ）
A．a+1a-1B．a﹣1C．aD．1﹣a
【答案】B
【解答】原式=a2a-1+1-2aa-1
=(a-1)2a-1
＝a﹣1．
故选：B．
8．（2020•河南模拟）下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）
A．2x-1=x+2x+1-1去分母得，2（x+1）＝（x﹣1）（x+2）﹣1
B．x3x-7+77-3x=1去分母得，x+7＝3x﹣7
C．x-3x+3+x+3x2-9=xx-3去分母得，（x﹣3）2﹣x+3＝x（x+3）
D．3x+4=1x-2去分母得，3（x﹣2）＝x+4
【答案】D
【解答】A、2x-1=x+2x+1-1去分母得：2（x+1）＝（x﹣1）（x+2）﹣（x+1）（x﹣1），不符合题意；
B、x3x-7+77-3x=1去分母得：x﹣7＝3x﹣7，不符合题意；
C、x-3x+3+x+3x2-9=xx-3去分母得：（x﹣3）2+x+3＝x（x+3），不符合题意；
D、3x+4=1x-2去分母得：3（x﹣2）＝x+4，符合题意．
故选：D．
9．（2020 •南召县期末）若数a使关于x的分式方程2x-1+a1-x=4的解为正数，则a的取值正确的是（ ）
A．a＜6且a≠2B．a＞6且a≠1C．a＜6D．a＞6
【答案】A
【解答】分式方程整理得：2x-1-ax-1=4，
去分母得：2﹣a＝4x﹣4，
解得：x=6-a4，
由分式方程的解为正数，得到6-a4＞0，且6-a4≠1，
解得：a＜6且a≠2．
故选：A．
10．（2020•宜宾模拟）抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ）
A．+＝﹣2B．+＝+2
C．＝﹣2D．＝﹣2
【答案】A
【解答】设原来每天生产x台呼吸机，
根据题意可列方程：+＝﹣2，
故选：A．
二．填空题（每题3分，共计15分）
11．（2020•开鲁县期末）约分：-25a2bc315ab2c= ．
【答案】-5ac23b
【解答】-25a2bc315ab2c=5abc⋅(-5ac2)5abc⋅3b=-5ac23b．
故答案为-5ac23b．
12．（2020 •宛城区期中）化简x2÷x•y6x（x-y2）3＝ ．
【答案】﹣x3
【解答】x2÷x•y6x（x-y2）3＝x•y6x•（-x3y6）＝﹣x3；
故答案为：﹣x3．
13.（2020 •浦东新区期末）用换元法解方程﹣＝1，设y＝，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ．
【答案】y2+y﹣2＝0
【解答】方程﹣＝1，
若设y＝，
把设y＝代入方程得：﹣y＝1，
方程两边同乘y，整理得y2+y﹣2＝0．
故答案为y2+y﹣2＝0．
14．（2015春•太康县期末）从多项式4x2+4xy+y2，2x+y，4x2﹣y2中，任选两个，其中一个作分子，另一个作分母，组成一个分式，写出化简后的结果 ．
【答案】12x-y（答案不唯一）
【解答】解：2x+y作分子，4x2﹣y2作分母，则
2x+y4x2-y2=2x+y(2x+y)(2x-y)=12x-y．
故答案为12x-y（答案不唯一）．
15．（2020•滨州模拟）数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：112-115=110-112．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是 ．
【答案】15
【解答】解：∵x＞5
∴x相当于已知调和数15，
代入得，13-15=15-1x，
解得，x＝15．
经检验得出：x＝15是原方程的解．
故答案为：15．
三．解答题（共75分）
16．（8分）（2020 •淇县期中）计算：当m为何值时，关于x的方程2x+1+51-x=mx2-1会产生增根？
解：方程得两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m．
化简，得
m＝﹣3x﹣7．分式方程的增根是x＝1或x＝﹣1．
当x＝1时，m＝﹣3﹣7＝﹣10，
当x＝﹣1时，m＝3﹣7＝﹣4，
当m＝﹣10或m＝﹣4时，关于x的方程2x+1+51-x=mx2-1会产生增根．
17．（9分）（2020•鼓楼区二模）（1）化简﹣；
（2）解方程﹣＝0．
解：（1）原式＝﹣
＝
＝；
（2）分式方程﹣＝0，
去分母得：x+1﹣2＝0，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x2﹣1＝0，
∴x＝1是增根，
则分式方程无解．
18．（9分）（2019•大城县一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
19．（9分）（2020•葫芦岛三模）先化简，再求值：÷（﹣2）其中a＝20200﹣（） ﹣1，
解：原式＝÷
＝•
＝﹣，
当a＝1﹣2＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣．
20. （9分）（9分）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3，
（1）当a＝3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
解：（1）当a＝3时，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；
（2）猜想：M＜N，理由：MN=a+1a+2⋅a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4，
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．
21．（10分）（2020•淮滨县期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式4x+2，3x2x3-4x是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式x+1x-1，x2x+1是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，x+1x-1=(x-1)+2x-1=1+2x-1．
（1）将假分式2x-1x+1化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式x2x+1的值为整数，求x的整数值．
解：（1）由题可得，2x-1x+1=2(x+1)-3x+1=2-3x+1；
（2）x2x+1=x2-1+1x+1=(x+1)(x-1)+1x+1=x﹣1+1x+1，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
22．（10分）（2020•川汇区期末）已知一个长方形的面积为6，它的一边为x，它的另一边长为y，周长为p．
（1）填空：（用含x的代数式表示）y＝ 6x ；②p＝ 2x+12x ；
（2）当x值从2增大到a+2时，y的值减少了2，求增量a的值；
（3）当x＝m时，p的值为p1；当x＝m+1时，p的值为p2，求p2﹣p1的值，并化成最简分式．
解：（1）由题意可得：y=6x，；②p＝2x+12x；
故答案为：6x；2x+12x；
（2）依据题意可得：
62-6a+2=2，
解得：a＝4；
经检验得：a＝4是原方程的根；
（3）∵p1＝2m+12m，p2＝2（m+1）+12m+1，
∴p2﹣p1＝2（m+1）+12m+1-2m-12m
＝2-12m2+m
=2m2+2m-12m2+m．
23．（10分）（2019 •河南期末）“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品．购进甲种礼品共花费1500元，购进乙种礼品共花费1050元，购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元．
（1）求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元；
（2）元旦前夕，礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个．恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整，一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了20%，一件乙种礼品价格比第一次购进时降低了5元．如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元，那么这家礼品店最少可购进多少件甲种礼品？
解：（1）设购买一件甲种礼品需x元，则购买一件乙种礼品需（x+20）元．
根据题意，得1500x=2×1050x+20．
方程两边乘x（x+20）得 1500（x+20）＝2×1050x．
解得 x＝50．
检验：当 x＝50时，x（x+20）＝50×（50+20）≠0．
所以，x＝50是原分式方程的解．
x+20＝50+20＝70．
答：购买一件甲种礼品需50 元，购买一件乙种礼品需70元．
（2）设这所礼品店可购进a件甲种礼品．
根据题意得 50×（1+20%）a+（70﹣5）×（50﹣a）≤3100．
解得 a≥30．
答：这所礼品店最少可购进30件甲种礼品．
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