2021年高考数学一轮复习夯基练习：幂函数与二次函数(含答案)

夯基练习 幂函数与二次函数

一 、选择题

1.若函数f(x)=x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)

A．与a有关，且与b有关          B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关          D．与a无关，但与b有关

2.设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象是下列图象之一，则a的值为（    ）

A.1              B.-1            C.-1-52            D.-1+52

3.已知函数f(x)=ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3，0)      B．(－∞，－3]     C．[－2，0]      D．[－3，0]

4.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a=0有两个相等的根，则实数a=(　　)

A．－0.2          B．1         C．1或－0.2       D．－1或－0.2

5.若二次函数y=2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为(　　)

A．y=2x2＋x＋3      B．y=2x2＋3      C．y=2x2＋x－3      D．y=2x2－3

6.函数f(x)=－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是(　　)

A．[－20，4]       B．(－20，4)      C．－20，4.5          D．－20，4.5

7.已知函数f(x)=－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．1          B．0            C．－1            D．2

8.设函数f(x)=mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m取值范围为(　　)

A．(－∞，0]          B．0，       C．(－∞，0)∪0，      D．－∞，

9.已知函数f(x)=x2＋bx，则“b<0”是“f[f(x)]的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件

C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

10.已知幂函数f(x)=x－m2＋2m＋3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，且y=f(x)的图象关于y轴对称，则f(－2)的值为(　　)

A．16           B．8            C．－16              D．－8

11.已知函数f(x)=ax2－2x＋2，若对一切x∈(0.5，2)，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(0.5，＋∞)     B．(0.5，＋∞)       C．[－4，＋∞)     D．(－4，＋∞)

12.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是(　　)

A.[0,+∞)                                B.(-∞,0]        C.[0,4]                                                     D.(-∞,0]∪[4,+∞)

二 、填空题

13.若二次函数f(x)=－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t=________．

14.在函数f（x）=ax2+bx+c，a≠0中，若b2=ac，且f（0）=-4，则f（x）有最______值（填“大”或“小”），且该值为_________________.

15.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

 则不等式ax2+bx+c＞0的解集是___________________.

16.已知函数f(x)=x2－2x，g(x)=ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)=f(x0)，则实数a的取值范围是________．

三 、解答题

17.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)=2x且f(0)=1．

(1)求f(x)的解析式；

(2)在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x＋m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

18.已知f（x）=ax2+bx+c，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表达式.

19.已知二次函数f(x)=x2＋2bx＋c(b，c∈R)．

(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；

(2)若f(x)满足f(1)=0，且关于x的方程f(x)＋x＋b=0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围．

20.已知函数f(x)=ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)=0，且c=1，F(x)=求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a=1，c=0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

参考答案

1.答案为：B；

解析：

解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，

则m=x＋ax1＋b，M=x＋ax2＋b．∴M－m=x－x＋a(x2－x1)，

显然此值与a有关，与b无关．故选B．

解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．

随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)=M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B．

2.答案：B

3.答案为：D；

解析：

当a=0时，f(x)=－3x＋1，满足题意；当a>0时，函数f(x)的图象在其对称轴右侧单调递增，

不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x=－，

∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－≤－1，得－3≤a<0．

综上可知，实数a的取值范围是[－3，0]．故选D．

4.答案为：A；

解析：

因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x=a(x－1)(x－3)，且a<0，

所以f(x)=a(x－1)(x－3)－2x=ax2－(2＋4a)x＋3a．由方程f(x)＋6a=0得ax2－(2＋4a)x＋9a=0．

因为方程有两个相等的根，所以Δ=[－(2＋4a)]2－4a·9a=0，解得a=1或a=－．

由于a<0，则a=－．故选A．

5.答案为：B；

解析：

由题可知函数y=f(x)为偶函数，则b=0．又过点(0，3)，则c=3，故解析式为y=2x2＋3．故选B．

6.答案为：C；

解析：

由函数f(x)=－2x2＋6x可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为x=，当－2≤x<时，

函数f(x)单调递增，当≤x≤2时，函数f(x)单调递减，

∴f(x)max=f=－2×＋6×=，f(x)min=min{f(－2)，f(2)}，

又f(－2)=－8－12=－20，f(2)=－8＋12=4，∴函数f(x)的值域为－20，，故选C．

7.答案为：A；

解析：

f(x)=－x2＋4x＋a=－(x－2)2＋a＋4，∴函数f(x)=－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，

∴当x=0时，f(x)取得最小值，当x=1时，f(x)取得最大值，

∴f(0)=a=－2，f(1)=3＋a=3－2=1，故选A．

8.答案为：D；

解析：

由题意，f(x)<－m＋4对于x∈[1，3]恒成立，即m(x2－x＋1)<5对于x∈[1，3]恒成立．

∵当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，∴不等式f(x)<－m＋4等价于m<．

∵当x=3时，取最小值，∴若要不等式m<对于x∈[1，3]恒成立，

则必须满足m<，因此，实数m的取值范围为－∞，，故选D．

9.答案为：A；

解析：

记g(x)=f[f(x)]=(x2＋bx)2＋b(x2＋bx)=2－=2－．

当b<0时，－＋<0，即当2－＋=0时，g(x)有最小值，且g(x)min=－，

又f(x)=2－，所以f[f(x)]的最小值与f(x)的最小值相等，都为－，

故充分性成立．另一方面，当b=0时，f[f(x)]的最小值为0，也与f(x)的最小值相等．

故必要性不成立．故选A．

10.答案为：A；

解析：

∵幂函数f(x)=x－m2＋2m＋3(m∈Z)的图象关于y轴对称，∴函数f(x)为偶函数，

又幂函数f(x)=x－m2＋2m＋3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，

∴－m2＋2m＋3是偶数，且－m2＋2m＋3>0，

∵m∈Z，∴m=1，∴幂函数f(x)=x4，f(－2)=16．故选A．

11.答案为：B；

解析：

由题意得，对一切x∈(，2)，f(x)>0都成立，即a>=－＋=－2(－)2＋

在x∈(0.5，2)上恒成立，而－2(－)2＋≤，

则实数a的取值范围为，＋∞．故选B．

12.C　由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为直线x==2,又因为f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.

二 、填空题

13.答案为：－4；

解析：

由于f(x)=－x2＋4x＋t=－(x－2)2＋t＋4图象的顶点在x轴上，所以f(2)=t＋4=0，故t=－4．

14.答案：大,-3.

15.答案：{x|x＜-2或x＞3}

16.答案为：(0,0.5]；

解析：当x0∈[－1，2]时，由f(x)=x2－2x得f(x0)∈[－1，3]，

又对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)=f(x0)，

所以当x1∈[－1，2]时，g(x1)∈[－1，3]．

当a＞0时，解得a≤.

综上所述，实数a的取值范围是.

三 、解答题

17.解：

(1)设f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)=1，得c=1，所以f(x)=ax2＋bx＋1．

因为f(x＋1)－f(x)=2x，

所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)=2x，

即2ax＋a＋b=2x，所以解得

所以f(x)=x2－x＋1．

(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，

即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．

设g(x)=x2－3x＋1－m，

其图象的对称轴为直线x=，

所以g(x)在[－1，1]上单调递减．

故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．

故实数m的取值范围是(－∞，－1)．

18.解：∵f（0）=0，

∴c=0.

又∵f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+2ax+a+bx+b，

f（x）+x+1=ax2+bx+x+1，

∴ax2+2ax+a+bx+b=ax2+bx+x+1.

解得2ax+a+b=x+1.

∴2a=1,a+b=1.

得a=0.5,b=0.5.

∴f（x）的解析式为f（x）=0.5x2+0.5x.

19.解：

(1)设x1，x2是方程f(x)=0的两个根．

由韦达定理，得

由条件知x1，x2就是－1，1，即

所以b=0，c=－1．

(2)由题知，f(1)=1＋2b＋c=0，

所以c=－1－2b．

记g(x)=f(x)＋x＋b=x2＋(2b＋1)x＋b＋c=x2＋(2b＋1)x－b－1，

由g(x)的图象，得

解得<b<．故b的取值范围为(，)．

20.解：(1)由已知c=1，a－b＋c=0，且－=－1，解得a=1，b=2，

∴f(x)=(x＋1)2.∴F(x)=

∴F(2)＋F(－2)=(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]=8.

(2)f(x)=x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．

又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.

∴－2≤b≤0.

故b的取值范围是[－2，0]．