2021年高考数学一轮复习夯基练习：立体几何中的向量方法(含答案)

夯基练习 立体几何中的向量方法

一 、选择题

1.若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为(　　)

A.10           B.－10          C.0.5            D.－0.5

2.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n=(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A.(1，－1,1)       B.(1,3,1.5)         C.(1,-3,1.5)      D.(-1,3,-1.5)

3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为(  )

A.             B.0                          C.0.5                          D.  

4.若直线l的方向向量为ν=(2,2,2)，向量m=(1，－1,0)及n=(0,1，－1)都与平面α平行，则(　　)

A.l⊥α     B.l∥α          C.l⊂α        D.l与α相交但不垂直

5.给定下列命题：

①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；

②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2=0；

③若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n=0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是(　　)

A.1　          B.2            C.3            D.4

6. (在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为(  )

A.60°            B.90°             C.75°                        D.105°

7.若平面α，β的法向量分别为u=(2，－3,5)，v=(－3,1，－4)，则(　　)

A.α∥β　                         B.α⊥β

C.α，β相交但不垂直               D.以上均不正确

8.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是(     )                           

A.         B.        C.           D.

9.若直线l的方向向量为a=(－1,0,2)，平面α的法向量为n=(－2,0,4)，则(　　)

A.l∥α         B.l⊥α          C.l⊂α          D.l与α斜交

10.设平面α与向量a=(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b=(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________.

11.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=(2，－1，－4)，=(4,2,0)，=(－1,2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.

其中正确的是________.

二 、填空题

12.若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为(1，0.5,2)，且l⊥α，则m=________.

13.平面α，β的法向量分别为m=(1,2，－2)，n=(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________.

14.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE=________.

三 、解答题

15.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关系.

16.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?

17.如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点.

求证：平面ADE⊥平面A1FG.

18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=.

(1)求证：平面AEF⊥平面PAB.

(2)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.

参考答案

1.答案为：B；

解析：∵α⊥β，∴α，β的法向量也垂直，

即(－1,2,4)·(x，－1，－2)=0.∴－x－2－8=0.∴x=－10.

2.答案为：B；

解析：要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，

即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验.

对于选项A，=(1,0,1)，则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0，故排除A；

对于选项B，=(1，-4,0.5)，则·n=(1，-4,0.5)·(3,1,2)=0.

同理，选项C、D也不符合要求，故选B.

3.B.                                         

4.答案为：A；

解析：因为ν·m=2－2＋0=0，ν·n=0＋2－2=0，所以ν⊥m，且ν⊥n，

又m与n不平行，所以ν⊥α，即l⊥α.

5.答案为：C；

解析：①③④正确，②中由α∥β⇒n1∥n2.

6.B.                                         

7.答案为：C；

解析：∵≠≠且u·v≠0，∴α，β相交但不垂直.

8.D.

9.答案为：B；

解析：∵a=(－1,0,2)，n=(－2,0,4)，∴n=2a，即a∥n.∴l⊥α.

10.答案为：垂直；

解析：由已知，a，b分别是平面α，β的法向量.∵a·b=－2＋6－4=0，∴a⊥b，∴α⊥β.

11.答案为：①②③；

解析：·=－2－2＋4=0，∴AP⊥AB，①正确；

·=－4＋4=0，∴AP⊥AD，②正确；

且是平面ABCD的法向量；∴③正确，

④错误.

二 、填空题

12.答案为：4；

解析：∵l⊥α，∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量.∴==，∴m=4.

13.答案为：－5；

解析：由α⊥β知，m·n=0.∴－2－8－2k=0，解得k=－5.

14.答案为：a或2a；

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D，

设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，

则=，=(a,0，z－3a)，=.

又·=a2－a2＋0=0，故由题意得2a2＋z2－3az=0，解得z=a或2a.故AE=a或2a.

三 、解答题

15.解：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D­xyz.

则B(1,1,0)，A1(1,0,1)，M，N，

∴=(1,0,1)，=(1,1,0)，=.

设平面A1BD的一个法向量为n0=(x，y，z)，

则即取x=1，则y=z=－1，

∴n0=(1，－1，－1).∴n0=－2，即n0∥.

∴MN⊥平面A1BD.

16.解：如图，建立空间直角坐标系，则

A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，M，

假设存在P(0,0，x)满足条件，则=(1,0，－x)，=(－1,1,0).

设平面PAC的法向量为n=(x1，y1，z1)，

则由得

令x1=1得y1=1，z1=，即n=，

由题意∥n，由=得x=2，

∵正方体棱长为1，且2＞1，

∴棱DD1上不存在点P，使MD⊥平面PAC.

17.解：建立坐标系.

设平面AED的法向量为n=(x1，y1，z1).

平面A1GF的法向量为m=(x2，y2，z2).

则n⊥，n⊥，∴

取z1=2，则n=(0，－1,2).

由m⊥，m⊥得

取z2=1，则m=(0,2,1).

∵m·n=0－2＋2=0，∴m⊥n.

∴平面ADE⊥平面A1GF.

18.解：