2021年高考数学一轮复习夯基练习：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)
展开夯基练习 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一 、选择题
1.函数f(x)=sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.3
2.计算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A.－ B. C.－ D.
3.已知cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，则cos(α－β)=( )
A．－ B．－ C. D．1
4.cos(－15°)的值为( )
A. B. C. D．－
5.Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）
A． B． C． D．-
6.已知cos＋sin α=，则sin的值为( )
A.－ B. C.－ D.
7.若tan α=，tan(α＋β)=，则tan β等于( )
A. B. C. D.
8.若α∈，且sin2 α＋cos 2α=，则tan α的值等于( )
A. B. C. D.
9.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β=0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．±1
10.已知函数f(x)=sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的一条对称轴是( )
A．x=－ B．x= C．x=－ D．x=
11.在锐角△ABC中，tan Atan B的值( )
A．不小于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1
12.函数y=sin 2x＋sin2 x，x∈R 的值域是( )
A. B. C. D.
二 、填空题
13.在△ABC中，若cos A=，则sin2＋cos 2A等于________．
14.定义运算=ad－bc.若cos α=，=，0＜β＜α＜，
则β= .
15.已知cos＋sin α=，则sin=________.
16.已知tan α和tan(- α)是方程ax2＋bx＋c=0的两个根，则a，b，c的关系是________．
三 、解答题
17.已知函数f(x)=cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
18.求证：tan －tan =.
19.如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP=PD，求tan∠APD的值．
20.已知α，β为锐角，tan α=，cos(α＋β)=－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
参考答案
1.答案为：C；
解析 f(x)=＋sin 2x=sin＋，
∵x∈，∴2x－∈，
∵sin∈，∴f(x)max=1＋=，故选C.
2.答案为：D；
3.答案为：A.
解析：由cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，
两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2=＋=1，
∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β=1，
2(cos αcos β＋sin αsin β)=－1，cos(α－β)=－.
4.答案为：C.
解析：cos(－15°)=cos(30°－45°)=cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°=.
5.B
6.答案为：C；
解析：∵cos＋sin α=，
∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α=，
∴cos α＋sin α=，即cos α＋sin α=，
∴sin=.∴sin=－sin=－.
7.答案为：A；
8.D.
解析：因为sin2 α＋cos 2α=，所以sin2 α＋cos2 α－sin2 α=cos2 α=
所以cos α=±.又α∈，所以cos α=，sin α=.tan α=.
9.答案为：C.
解析：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β=sin(α＋β－β)=sin α=0，
∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)=2sin αcos 2β=0.
10.答案为：D.
解析：函数f(x)=sin ωx＋cos ωx=2sin(ωx＋)．
因为y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，所以函数的周期T=π，
所以ω=2，所以f(x)=2sin(2x＋)．
令2x＋=＋kπ，k∈Z，解得x=＋，k∈Z，当k=0时，有x=.故选D.
11.答案为：D.
解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tan A，tan B，tan C均为正数，
∴tan C>0，∴tan[180°- (A＋B)]>0，∴tan(A＋B)<0，即<0，
而tan A>0，tan B>0，∴1- tan Atan B<0，即tan Atan B>1.
12.C.
解析：y=sin 2x＋=＋=sin＋.
因为x∈R，所以2x－∈R ，sin∈[－1，1]，
所以函数y的值域是.
二 、填空题
13.答案为：－；
解析：在△ABC中，=－，
所以sin2＋cos 2A=sin2＋cos 2A=cos2＋cos 2A=＋2cos2A－1=－.
14.答案为：；
解析：由题意，得sin αcos β－cos αsin β=，∴sin(α－β)=.
∵0＜β＜α＜，∴cos(α－β)= =.
又由cos α=，得sin α=.
∴cos β=cos[α－(α－β)]=cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
=×＋×=，∴β=.
15.答案为：－；
解析：cos＋sin α=cos α＋sin α＋sin α
=cos α＋sin α==sin=.
∴sin=，∴sin=－sin=－.
16.答案为：c=a＋b；
解析：∴tan =tan[(- α)＋α]==1，
∴- =1- ，∴- b=a- c，∴c=a＋b.
三 、解答题
17.解：(1)f(x)=cos－2sin xcos x
=cos 2x＋sin 2x－sin 2x=sin 2x＋cos 2x=sin，
所以T==π.
(2)证明：令t=2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
因为y=sin t在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)≥sin=－，得证.
18.证明：∵左边=tan －tan =－
==
====右边.
∴原等式得证.
19.解：由AB＋BP=PD，得a＋BP=，解得BP=a.
设∠APB=α，∠DPC=β，则tan α==，tan β==，
所以tan(α＋β)==- 18.
又∠APD＋α＋β=π，
所以tan∠APD=18.
20.解：(1)∵tan α=，∴=.
又sin2α＋cos2α=1.∴sin2α=，cos2α=.
∴cos 2α=cos2α－sin2α=－.
(2)cos 2α=－，α为锐角⇒<α<⇒sin 2α>0⇒sin 2α=.
∵cos(α＋β)=－，α、β均为锐角，<α＋β<π，∴sin(α＋β)=.
∴cos(α－β)=cos(2α－(α＋β))=cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)=.
∴sin(α－β)=sin(2α－(α＋β))=sin 2αcos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)=－.
∴tan(α－β)==－.
