2021年高考数学一轮复习夯基练习：空间几何体(含答案)

夯基练习 空间几何体

一 、选择题

1.关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是(　　)

A．棱柱的侧棱长都相等

B．棱锥的侧棱长都相等

C．三棱台的上、下底面是相似三角形

D．有的棱台的侧棱长都相等

2.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为(　　)

A．π           B．＋       C．－        D．π＋2

3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)

4. (2017全国卷1∙文)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是(      )

5.已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于(　　)

A．4π           B．        C．          D．16π

6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为S1，S2，则(　　)

A.－为定值                  B. 为定值

C.＋为定值                  D.＋为定值

7.若三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为(　　)

A.1:2:3             B.1::      C.1:2:3        D.1:4:7

8.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为(　　)

A．24＋(－1)π            B．24＋(2－2)π

C．24＋(－1)π            D．24＋(2－2)π

9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为(  )                                         

A.(60+4)π   B.(60+8)π     C.(56+8)π      D.(56+4)π

10.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是(　　)

A.8 cm                B.6 cm       C.2(1＋) cm         D.2(1＋) cm

11.如图所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为(　　)

A．2           B．4             C．6              D．8

12.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于(　　)

A．10 cm3          B．20 cm3         C．30 cm3           D．40 cm3

二 、填空题

13.用一张16×10的长方形纸片，在四个角剪去四个边长为x的正方形(如图)，然后沿虚线折起，得到一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________．

14.将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________.

15.下列几何体是棱台的是________(填序号)．

16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．

三 、解答题

17.如图，一个圆锥的底面半径为2，高为4，在其中有一个高为x的内接圆柱．

(1)求圆柱的侧面积；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

18.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

19.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.

20.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.

参考答案

1.答案为：B；

2.答案为：B；

解析：由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，

点A，M的最短距离，即为线段AM．∵PA=PB=2，半圆锥的底面半圆的弧长为π，

∴展开图中的∠BPM==，∵∠APB=，∴∠APM=，

∴在△APM中，根据余弦定理有，MA2=22＋22－2×2×2cos=8＋4=(＋)2，

∴MA=＋，即蚂蚁所经过路程的最小值为＋．故选B．

3.答案为：C；

解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.

4.【答案】A   解析】由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.故A不满足，选A.

5.答案为：D；

解析：

如图，可知球的半径R===2，

进而这个球的表面积为4πR2=16π．故选D．

6.答案为：A.

解析：设投影面与侧面所成的角为α⇒S1=sin α＋cos α，S2=sin(90°－α)＋cos(90°－α)

=sin α＋cos α，S1=S2⇒－为定值．

7.答案为：C;

解析：由表面积之比得到半径之比为r1:r2:r3=1::，

从而得体积之比为V1:V2:V3=1:2:3.

8.答案为：B；

解析：

如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得．

由图中知圆锥的半径为1，母线为，

该几何体的表面积为S=6×22－2π×12＋2××2π×1×=24＋(2－2)π，故选B．

9.A.

解析：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如图：                                         

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=(60+4)π，                                         

10.答案为：A；

解析：根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB=2，OA=1，

AB=3，从而原图周长为8 cm.

11.答案为：B；

解析：如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V=×23=4．故选B．

12.答案为：B

解析：

由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABC－A1B1C1截去一个三棱锥B1－ABC，

则该几何体的体积为V=×3×4×5－××3×4×5=20(cm3)．故选B．

二 、填空题

13.答案为：144；

解析：沿虚线折出纸盒后，该纸盒的长为16－2x，宽为10－2x，高为x，则0＜x＜5，

其容积为V=x(16－2x)·(10－2x)=4x3－52x2＋160x，

所以V′=12x2－104x＋160=4(x－2)(3x－20)，令V′=0，得x=2或x=>5(舍去)，

当x∈(0，2)时，V′＞0，即在(0，2)上，V(x)是增函数；

当x∈(2，5)，V′＜0，即在(2，5)上，V(x)是减函数，

所以当x=2时，V(x)有最大值为144．

14.答案为：圆锥；

15.答案为：④；

解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．

②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义，故填④.

16.答案为：；

解析：

由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为，即底面面积为，

由正方体的性质知，四棱锥的高为．故四棱锥M－EFGH的体积V=××=．

三 、解答题

17.解：(1)如图，设内接圆柱底面半径为r.S圆柱侧=2πr·x.①

∵=，∴r=(4－x)．②

②代入①，S圆柱侧=2πx·(4－x)=π(－x2＋4x)(0<x<4)．

(2)S圆柱侧=π(－x2＋4x)=π[－(x－2)2＋4]，

∴x=2时，S圆柱侧最大=4π.

18.解：

(1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．

由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1．

故所求几何体的表面积S=5×22＋2×2×＋2××()2=22＋4(cm2)，

所求几何体的体积V=23＋×()2×2=10(cm3)．

19.解：

20.解：