2021年高考数学一轮复习夯基练习：空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案)
展开夯基练习 空间点、直线、平面之间的位置关系
一 、选择题
1.如图，四面体PABC的六条棱均相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列四个结论中不成立的是( )
A.平面PDE⊥平面ABC B.DF⊥平面PAE C.BC∥平面PDF D.平面PAE⊥平面ABC
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个
4.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=3，则直线PC与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
5.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A. B．－ C. D．－
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ的实数λ的值有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7.如图，正方体中，P为线段上的动点，则下列判断错误的是( )
A. B.
C. D.
8.设α//β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C( ).
A.不共面
B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.不论A,B如何移动,都共面
9.如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为1的正三角形，O为△ABC的中心，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.下列命题中，不正确的是（ ）
①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；
②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；
③两条相交直线上的三个点确定一个平面；
④两条互相垂直的直线共面．
A.①与② B.③与④ C.①与③ D.②与④
11.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( ).
A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N
12.如果直线a//平面α,那么直线a与平面α内的( ).
A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
二 、填空题
13.已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中是真命题的序号是_____．
①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；
③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β．
14.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列三个条件:
①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.
要使命题“若α∩β=m，n⊂γ，且_____，则m∥n”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_____（把你认为正确条件的序号填上）
15.已知平面ɑ//β，P是平面ɑ,β外的一点，过点P的直线m与平面ɑ,β分别交于A,C两点，过点P的直线n与平面ɑ,β分别交于B,D两点，若PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为 ．
16.如图所示，正方形所在平面与正方形所在平面成60°的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是_______．
三 、解答题
17.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a.
(1)求a的值；
(2)求三棱锥B1A1BC的体积．
18.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
19.如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP//GH.
20.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.
参考答案
1.答案：A
解题思路：
2.答案：D
3.答案：D．
4.答案：D
解题思路：
5.答案为：A；
解析：如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，
则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，
因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，
所以∠FEG=60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.
6.答案为：C；
解析：本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1，可知只有Q点与M，N重合时满足条件．故选C．
7.答案：D
解题思路：
8.答案:D;解析:由面面平行的性质定理,点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内.故选D.
9.答案：D
解题思路：
10.答案：B．
11.答案:A;解析:据公理1可知：直线l上两点M、N都在平面α内,所以l在平面α内,故选A.
12.答案:D;解析:线面平行,则线面无公共点,所以选D,对于C,要注意“无数”并不代表所有.
二 、填空题
13.答案为：①②④；
14.答案为：③或①；
15.答案：24或4.8．
16.答案为：;
三 、解答题
17.解：
(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°.
又AA1⊥平面ABC，AB=AC，则A1B=A1C，
∴△A1BC为等边三角形，
由AB=AC=1，∠BAC=90°⇒BC=，
∴A1B=⇒=⇒a=1.
(2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB=A，
∴CA⊥平面A1B1B，
∴VB1A1BC=VCA1B1B=××1=.
18.解析：(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角)即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,AC=BD,则FG⊥EG,FG=EG.所以∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
19.
20.解析：(1)因为PA⊥底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又S△ABC=×2×2=2,所以三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
易知PB=2,PC=4,BC=4,则在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,所以cos∠ADE==.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
