2021年高考数学一轮复习夯基练习：函数模型及其应用(含答案)

夯基练习 函数模型及其应用

一 、选择题

1.某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比前一年增加20%.另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为0.8万元，第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，那么，第n年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成的函数，其表达式为（    ）

A.y=（3n+5）·1.2n+2.4            B.y=8×1.2n+2.4n

C.y=（3n+8）·1.2n+1+2.4           D.y=（3n+5）×1.2n-1+2.4

2.某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长10.4%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的大致图像是下图中的(　　)

3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．甲比乙先出发                   B．乙比甲跑的路程多

C．甲、乙两人的速度相同           D．甲比乙先到达终点

4.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随小车P变化的视角为θ=∠AOP，练车时间为t，则函数θ=f(t)的图象大致为(　　)

5.据调查，某地铁的自行车处在某星期日的库存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车数x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)

A.y=0.1x＋800(0≤x≤4 000)

B.y=0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

C.y=－0.1x＋800(0≤x≤4 000)

D.y=－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

6.用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)

A.3 m          B.4 m         C.5 m         D.6 m

7.下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为(　　)

(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；

(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

A.①②④       B.④②③      C.①②③       D.④①②

8.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　)

A．40万元       B．60万元       C．120万元       D．140万元

9.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.

现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)

A.y=log2x       B.y=2x　          C.y=x2　         D.y=2x

10.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则可以用来描述该厂前t年这种产品的总产量c与时间t的函数关系的是(　　)

11.某物体一天中的温度T ℃是时间t(小时)的函数T=t3-3t+60,t=0表示12:00的温度,其后t取正值,则上午8:00的温度是(    )

A.112 ℃           B.58 ℃       C.18 ℃        D.8 ℃

12.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，lg109=2.037 4，lg0.09=－2.954 3)(　　)

A.2015年        B.2011年      C.2010年        D.2008年

二 、填空题

13.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费提高2元便减少10张客床租出.为少投入，多获利，每床每天收费应提高________元.

14.某不法商人将彩电按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是_________元.

15.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________.

16.某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t=且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：

①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；

②当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少；

③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；

④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．

其中，所有正确结论的序号是________．

三 、解答题

17.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3 600时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少元？

18.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t内沙尘暴所经过的路程s(单位：km)．

(1)当t=4时，求s的值；

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

19.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数不超过30人，每人需交费用900元；若旅行团人数超过30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15000元.

(1)写出每人需交费用y关于旅行团人数x的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润是多少？

20.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为4000元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

参考答案

1.答案为：A；

解析：第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12（万元），而对4个选择肢而言当x=1时，C、D相对应的函数值均不为12.再考虑第二年企业付给工人的工资总额及选择肢A、B相应的函数值，又可排除B，故应选A.

2.答案为：D；

解析：设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为1＋10.4%；经过2年森林的蓄积量为(1＋10.4%)2；……；经过x年的森林蓄积量为(1＋10.4%)x(x≥0)，即y=(110.4%)x(x≥0).因为底数110.4%大于1，根据指数函数的图像，故应选D.

3.答案为：D；

解析：由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．

4.答案为：D；

解析：

根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，

接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D.

5.答案为：D；

解析：根据题意总收入分为两部分：普通车存车费为0.2x元，

变速车费用(4 000－x)×0.3元.∴y=0.2x＋1 200－0.3x=－0.1x＋1 200，故选D.

6.答案为：A；

解析：设隔墙的长为x m，矩形面积为S，

则S=x·=x(12－2x)=－2x2＋12x=－2(x－3)2＋18，

所以当x=3时，S有最大值为18.

7.答案为：D；

解析：离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象④；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象①；最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象②.故选D.

8.答案为：C；

解析：

甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，

此时获利20×2=40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4=40(万份)，

在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元)，共获利40＋80=120(万元)．故选C.

9.答案为：B；

10.答案为：A；

11.答案为：D

12.答案为：B；

解析：设1995年总值为a，经过x年翻两番.则a·(1＋9%)x=4a.∴x=≈16.

二 、填空题

13.答案为：5；

解析：设客床租金每张提高x个2元，则将有10x客床空出，客床租金总收入为：

y=(10＋2x)(100－10x)=－20x2＋100x＋1 000

=－20(x2－5x－50)=－20(x-2.5)2＋1 125，

∴当提高2.5个2元即提高5元时，租金总收入最高.

14.答案为：2 250；

解析：设彩电原价为x元，则(x+40%x)×80%-x=270.解得x=2 250（元）.

15.答案为：20；

解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，

则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，

根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，

即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t=1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，

解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.

16.答案为：①④；

解析：

∵某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t=

且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k＋6=16，即4k＋6=4，

解得k=－，∴t=①当x=6时，t=8，故①正确；

②当x∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，

该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，

此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，

此时的保鲜时间t=2－×11＋6=≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，

故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．

故正确结论的序号为①④.

三 、解答题

17.解：

(1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为=12(辆).

所以这时租出的车辆数为100－12=88(辆).

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

f(x)=(x－150)－·50

f(x)=－x2＋162x－21 000=－(x－4 050)2＋307 050.(3 000≤x≤8 000).

所以当x=4 050时，f(x)最大，最大值为307 050，

即当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益307 050元.

18.解：

(1)由题中给出的函数图象可知，当t=4时，v=3×4=12(km/h)，

∴s=×4×12=24(km)．

(2)当0≤t≤10时，s=·t·3t=t2；

当10<t≤20时，

s=×10×30＋30(t－10)=30t－150；

当20<t≤35时，

s=×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)=－t2＋70t－550．

综上可知，s=

(3)∵t∈[0，10]时，smax=×102=150<650，

t∈(10，20]时，smax=30×20－150=450<650，

∴当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550=650，解得t=30．

故沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．

19.解：

20.解：