2021年高考数学一轮复习夯基练习：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含答案)
展开夯基练习 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一 、选择题
1.设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n
C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2=2n
2.已知全集U=R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“p”是( )
A.∉A B.∈(∁UA)∩(∁UB)
C.∈∁UB D.∉(A∩B)
3.下列各组命题中，满足“p或q”为真，且“非p”为真的是( )
A.p：0=∅；q：0∈∅
B.p：在△ABC中，若cos 2A=cos 2B，则A=B；q：函数y=sin x在第一象限是增函数
C.p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D.p：圆(x－1)2＋(y－2)2=1的面积被直线x=1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2=1相切的直线有两条
4. “p∨q为假命题”是“p为真命题”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若命题p：x∈A∩B，则p为( )
A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉B
C.x∉A且x∉B D.x∈A∪B
6.已知命题p：对任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q
7.已知命题p：∃x>0，x＋a-1=0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A.{a|a<-1} B.{a|a≥1} C.{a|a>1} D.{a|a≤-1}
8.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A.∀x∈R,2x＋1>0
B.若2x为偶数，则∀x∈N
C.所有菱形的四条边都相等
D.π是无理数
9. “xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0 B.x≠0或y≠0
C.x，y至少有一个不为0 D.不都是零
10.若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(－∞，1] C.(－1,1) D.(－1,1]
11.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
12.下列命题中的真命题是( )
A.∀φ∈R，函数f(x)=sin(2x＋φ)都不是偶函数
B.∃α，β∈R，使cos(α＋β)=cos α＋cos β
C.向量a=(2,1)，b=(－1,0)，则a在b方向上的投影为2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件
二 、填空题
13.已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，则p∧q是______，p∨q是______，p是________.
14.命题“若abc=0，则a，b，c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________.
15.命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为 .
16.已知命题p：x≤1，命题q：＜1，则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个).
三 、解答题
17.对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假.
(1)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；
(2)p：π>3，q：π<2；
(3)p：x≠0，则xy≠0，q：y≠0，则xy≠0.
18.将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假.
(1)实数的平方是非负数；
(2)整数中1最小；
(3)方程ax2＋2x＋1=0(a＜1)至少存在一个负根；
(4)对于某些实数x，有2x＋1＞0.
19.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断真假.
(1)p：1是质数，q：1是方程x2＋2x－3=0的根；
(2)p：平行四边形的对角线一定相等，q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：N⊆Z，q：0∈N.
20.设q(x)：x2=x，试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R，q(x)”(至少用5种).
参考答案
1.答案为：C；
解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，
所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
2.答案为：B；
解析：由p：∈(A∪B)，可知p：∉(A∪B)，
即∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
3.答案为：C；
解析：A中，p，q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，
由在△ABC中，cos 2A=cos 2B，得1－2sin2A=1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)=0，
所以A－B=0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q为真，
从而“p或q”为真；D中，p为真，故“非p”为假，排除D.故选C.
4.答案为：A；
解析：p∨q为假命题，则p，q均为假命题，故p∨q为假命题⇒p为真命题，
但p为真命题 p∨q为假命题.
5.答案为：B；
解析：“x∈A∩B”是指“x∈A，且x∈B”，故p：x∉A或x∉B.
6.答案为：B；
解析：当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；
取a=1，b=－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题.
由复合命题的真假性，知B为真命题.
7.答案为：B；
解析：∵p为假命题，∴¬ p为真命题，即：∀x>0，x＋a-1≠0，即x≠1-a，
∴1-a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}，故选B.
8.答案为：C；
解析：对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；
对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；
对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.
9.答案为：A；
解析：xy≠0是指“x≠0，且y≠0”.
10.答案为：A；
解析：当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，必需Δ=4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).
11.答案为：D；
解析：原命题是全称量词命题，其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数.
12.答案为：B；
解析：
对于A，当φ=时，f(x)=cos 2x，为偶函数，故A为假命题；
对于B，令α=，β=－，则cos(α＋β)=cos=，
cos α＋cos β=＋0=，cos(α＋β)=cos α＋cos β成立，故B为真命题；
对于C，向量a=(2,1)，b=(－1,0)，则a在b方向上的投影为==－2，故C为假命题；
对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，
则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题.
二 、填空题
13.答案为：6是12和24的约数 6是12或24的约数 6不是12的约数；
解析：p∧q：6是12和24的约数；p∨q：6是12或24的约数；p：6不是12的约数.
14.答案为：若abc=0，则a，b，c全不为零 若abc≠0，则a，b，c全不为零；
解析：
否定形式：若abc=0，则a，b，c全不为零.
否命题：若abc≠0，则a，b，c全不为零.
15.答案为：∀x∈[﹣，]，tanx＞m;
16.答案为：充分不必要；
解析：p：x≤1⇒p：x＞1⇒＜1，但＜1 x＞1.∴p是q的充分不必要条件.
三 、解答题
17.解：
(1)p∧q：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题.
(2)p∧q：“π大于3且小于2”，是假命题.
(3)p∧q：“x≠0，则xy≠0，且y≠0，则xy≠0”，是假命题.
18.解：
(1)∀x∈R，x2≥0；真.
(2)∀x∈Z，x≥1；假.
(3)∃x＜0，有ax2＋2x＋1=0(a＜1)；真.
(4)∃x∈R，有2x＋1＞0；真.
19.解：
(1)因为p假q真，所以p或q：1是质数或1是方程x2＋2x－3=0的根，为真命题；
p且q：1是质数且1是方程x2＋2x－3=0的根，为假命题；
非p：1不是质数，为真命题.
(2)因为p假q假，所以p或q：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直，为假命题；
p且q：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直，为假命题；
非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真命题.
(3)因为p真q真，所以p或q：N⊆Z或0∈N，为真命题；
p且q：N⊆Z且0∈N，为真命题；
非p：NZ，为假命题.
20.解：
存在实数x，使x2=x成立；
至少有一个x∈R，使x2=x成立；
对有些实数x，使x2=x成立；
有一个x∈R，使x2=x成立；
对某个x∈R，使x2=x成立.
