2021年高考数学一轮复习夯基练习：基本不等式及其应用(含答案)

夯基练习 基本不等式及其应用

一 、选择题

1.若函数f(x)=x＋(x>2)在x=a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋          B．1＋         C．3             D．4

2. “a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)

A．充分不必要条件　             B．必要不充分条件

C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件

3.已知x＞0，y＞0，且x＋y=8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A.16          B.25         C.9          D.36

4.设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a<b<<     B．a<<<b    C．a<<b<    D.<a<<b

5.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.          B.          C.              D.

6.已知函数y=x－4＋(x>－1)，当x=a时，y取得最小值b，则a＋b=(　　)

A.－3          B.2         C.3         D.8

7.下列命题正确的是(　　)

A．函数y=x＋的最小值为2

B．若a，b∈R且ab>0，则＋≥2

C．函数＋的最小值为2

D．函数y=2－3x－的最小值为2－4

8.设f(x)=ln x，0<a<b，若p=f()，q=f，r=(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)

A．q=r<p         B．q=r>p        C．p=r<q          D．p=r>q

9.若x＞0，则函数y=-x-(　　)

A.有最大值-2         B.有最小值-2

C.有最大值2          D.有最小值2

10.若x，y满足约束条件且目标函数z=ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为7，

则＋的最小值为(　　)

A．14           B．7        C．18           D．13

11.已知m>0，n>0，2m＋n=1，则＋的最小值为(　　)

A．4         B．2       C.4.5          D．16

12.正实数ab满足+=1，则(a+2)(b+4)的最小值为(　　)                                         

A.16               B.24                              C.32                           D.40

二 、填空题

13.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

14.已知点A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．

15.周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________.

16.已知a>0，b>0，a＋b=4，则下列各式中正确的是________.

①＋≤；②＋≥1；③≥2；④≥1.

三 、解答题

17.已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3.

18.若x、y∈R＋，且2x＋8y－xy=0，求x＋y的最小值；

19.设a，b，c均为正数，且a＋b＋c=1.证明：

(1)ab＋bc＋ac≤；  (2)＋＋≥1.

20.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1.求证：＋＋≥9.

参考答案

1.答案为：C；

解析：

∵x＞2，∴x-2＞0，∴f(x)=x＋=(x-2)＋＋2≥2＋2=2＋2=4，

当且仅当x-2=，即(x-2)2=1时等号成立，解得x=1或3.又∵x＞2，∴x=3，

即a等于3时，函数f(x)在x=3 处取得最小值，故选C.

2.答案为：A.

解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，

故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.

3.答案为：B.

解析：(1＋x)(1＋y)≤===25，

因此当且仅当1＋x=1＋y即x=y=4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.

4.答案为：B；

解析：

∵0<a<b，∴a<<b，A，C错误；-a=(-)>0，即>a，D错误．故选B.

5.答案为：B；

解析：∵0<x<1，∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=.当且仅当x=1-x，即x=时等号成立．

6.答案为：C.

解析：y=x－4＋=(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，

所以y≥2－5=2×3－5=1.

当且仅当x＋1=，即x=2时，等号成立，即a=2，b=1，所以a＋b=3.

7.答案为：B；

解析：A错误，当x<0时或≠1时不成立；B正确，

因为ab>0，所以>0，>0，且＋≥2；C错误，

若运用基本不等式，需2=1，x2=－1无实数解；D错误，

y=2－(3x＋)≤2－4.

8.答案为：C；

解析：因为0<a<b，所以>，

又因为f(x)=ln x在(0，＋∞)上为增函数，故f>f()，即q>p.

又r=(f(a)＋(b))=(ln a＋ln b)=ln a＋ ln b=ln(ab)=f()=p.故p=r<q.选C.

9.答案为：A；

解析：因为x＞0，所以x＋≥2.

所以-x-≤-2.当且仅当x=1时，等号成立，故函数y=-x-有最大值-2.

10.答案为：B.

解析：画出可行域如图所示，由图形可知当直线经过x－y=－1与2x－y=2的交点N(3，4)时，

目标函数取得最大值，即3a＋4b=7，

于是＋=(3a＋4b)=(25＋＋)≥(25＋2)=7，

即＋的最小值为7.

11.答案为：C；

解析：

∵m>0，n>0，2m＋n=1，则＋=(2m＋n)·＋=＋＋≥＋2=，

当且仅当n=，m=时取等号．故选C.

12.C.                                         

二 、填空题

13.答案为：4；

解析：∵a4＋4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立)，

∴≥=4ab＋，由于ab＞0，∴4ab＋≥2=4

当且仅当4ab=时“=”成立，故当且仅当时，的最小值为4.

14.答案为：3.　

15.答案为：；

解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，

则＋1=a＋b＋≥2＋，解得ab≤，

当且仅当a=b=时取“=”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.

16.答案为：②；

解析：由a>0，b>0，知≥，

又a＋b=4，∴ab≤4，∴≥，∴＋==≥1，即＋≥1.

三 、解答题

17.证明：＋＋=＋＋＋＋＋－3

=＋＋－3.

因为a，b，c都是正数，

所以＋≥2=2，同理＋≥2，＋≥2，

所以＋＋≥6.

因为a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，

所以＋＋＞6，

所以＋＋＞3.

18.解：由2x＋8y－xy=0，得2x＋8y=xy，

∵x、y∈R＋，∴＋=1，

∴x＋y=(x＋y)=10＋＋=10＋2≥10＋2×2=18.

当且仅当=，即x=2y时取等号，又2x＋8y－xy=0，

∴当x=12，y=6时，x＋y取最小值18.

19.证明：

(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.

得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2=1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca=1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，

即ab＋bc＋ca≤.

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.

故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.

所以＋＋≥1.

20.证明：

∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1，

∴＋＋=＋＋

=3＋＋＋≥3＋2＋2＋2=9.

当且仅当a=b=c=时等号成立．