2021年高考数学一轮复习夯基练习：导数在研究函数中的应用(含答案)
展开夯基练习 导数在研究函数中的应用
一 、选择题
1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A.y=sin x B.y=xex C.y=x3-x D.y=ln x-x
2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，
则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
3.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(-∞，0)∪(1，＋∞)
4.函数y=2x3-3x2-12x＋5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，-8 B．1，-8 C．12，-15 D．5，-16
5.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能为( )
6.函数y=x4-2x2＋5的单调递减区间为( )
A．(-∞，-1)和(0,1) B．[-1,0]和[1，＋∞)
C．[-1,1] D．(-∞，-1]和[1，＋∞)
7.已知函数f(x)=＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)
8.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是( )
A.(-∞，-2] B.(-∞，-1] C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
9.已知函数f(x)=＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)
10.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1) C．(-1,1) D.
11.函数的图像大致为( )
12.函数f(x)=x3＋ax-2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．[-3，＋∞) C．(-3，＋∞) D．(-∞，-3)
二 、填空题
13.已知函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，
则f(x)＞2x＋4的解集为____________．
14.已知函数f(x)=-2x2＋ln x(a＞0)．若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
15.函数f(x)=cos x＋x的单调递增区间是________．
16.已知函数y=f(x)=x3＋3ax2＋3bx＋c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线6x＋2y＋5=0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
三 、解答题
17.已知函数f(x)=x3－3ax＋b(a≠0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．
18.已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋5，曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y=3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值．
19.已知函数f(x)=ax3-6ax2＋b在[-1,2]上有最大值3，最小值-29，求a，b的值．
20.已知f(x)=x3＋ax2＋bx＋c在x=1与x=-2时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若x∈[-3,2]时都有f(x)>-恒成立，求c的取值范围．
参考答案
1.答案为：B；
解析：B中，y′=(xex)′=ex＋xex=ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y=xex在(0，＋∞)上为增函数.对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况.
2.答案为：C；
解析：由题意可得f′(-2)=0，而且当x∈(-∞，-2)时， f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；
排除B、D，当x∈(-2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(-2,0)，xf′(x)＜0，
若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
3.答案为：A；
解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)=1-=，
令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．
4.答案为：A；
解析：y′=6x2-6x-12，由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去)．
x=-2时，y=1；x=-1时，y=12；x=1时，y=-8. ∴ymax=12，ymin=-8.故选A.
5.D
6.答案为：A；
解析：y′=4x3-4x，令y′<0，即4x3-4x<0，解得x<-1或0<x<1，
所以函数的单调递减区间为(-∞，-1)和(0,1)，故应选A.
7.答案为：A；
解析：在(0，＋∞)上，f′(x)=＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．
8.答案为：D.
解析：因为f(x)=kx-ln x，所以f′(x)=k-x-1.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)=k-x-1≥0恒成立，即k≥x-1在区间(1，＋∞)上恒成立.因为x>1，所以0<x-1<1，所以k≥1.故选D.
9.答案为：A；
解析：在(0，＋∞)内，f′(x)=＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，
所以有f(2)<f(e)<f(3)．
10.答案为：B；
解析：∵f′(x)=3x2-3a，令f′(x)=0，可得a=x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.
11.B
12.答案为：B；
解析：∵f(x)=x3＋ax-2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)=3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥-3x2在[1，＋∞)上恒成立，
又∵在[1，＋∞)上(-3x2)max=-3，∴a≥-3.
二 、填空题
13.答案为：(-1，＋∞)；
解析：设g(x)=f(x)-2x-4，则g′(x)=f′(x)-2.
∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数．
又g(-1)=f(-1)＋2-4=0，∴x＞-1时，g(x)＞0.
∴由f(x)＞2x＋4，得x＞-1.
14.答案为：∪[1，＋∞)；
解析：f′(x)=-4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)=-4x＋≥0或f′(x)=-4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立．令h(x)=4x-，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.
15.答案为：(-∞，＋∞)；
解析：因为f′(x)=-sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
16.答案为：4；
解析：∵f′(x)=3x2＋6ax＋3b，
∴⇒
∴f′(x)=3x2－6x，令3x2－6x=0，得x=0或x=2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值=f(0)－f(2)=4.
三 、解答题
17.解：f′(x)=3(x2－a)(a≠0)，
当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，
此时函数没有极值点．
当a>0时，令f′(x)=0，得x1=，x2=－，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如下表：
因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，
单调递减区间为(－，)，
此时x=－是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点．
18.解：
(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y=3x＋1可得，f(1)=3×1＋1=4，
∴f(1)=1＋a＋b＋5=4，即a＋b=-2，
又由f(x)=x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)=3x2＋2ax＋b，
而由切线y=3x＋1的斜率可知f′(1)=3，
∴3＋2a＋b=3，即2a＋b=0，
由解得∴a=2，b=-4.
(2)由(1)知f(x)=x3＋2x2-4x＋5，f′(x)=3x2＋4x-4=(3x-2)(x＋2)，
令f′(x)=0，得x=或x=-2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
∴f(x)的极大值为f(-2)=13，极小值为f=，
又f(-3)=8，f(1)=4，∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13.
19.解：依题意，显然a≠0.
因为f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)，x∈[-1,2]，
所以令f′(x)=0，解得x1=0，x2=4(舍去)．
(1)若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表知，当x=0时，f(x)取得最大值，所以f(0)=b=3.
又f(2)=-16a＋3，f(-1)=-7a＋3，故f(-1)>f(2)，
所以当x=2时，f(x)取得最小值．即-16a＋3=-29，a=2.
(2)若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x=0时，f(x)取得最小值，所以f(0)=b=-29.
又f(2)=-16a-29，f(-1)=-7a-29，故f(2)>f(-1)．
所以当x=2时，f(x)取得最大值．即-16a-29=3，a=-2.
综上所述，所求a，b的值为或
20.解：(1)f′(x)=3x2＋2ax＋b.
由题意，得即解得
(2)由(1)知f′(x)=3x2＋3x-6=3(x＋2)(x-1)．
令f′(x)=0，得x=-2或x=1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表所示：
∴f(x)在[-3,2]上的最小值为c-.即-<c-
解得＜c＜0或c>.
即c的取值范围为∪.
