2021年高考数学一轮复习夯基练习：变化率与导数、导数的计算(含答案)
展开夯基练习 变化率与导数、导数的计算
一 、选择题
1.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x＋4y－8=0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4=0 B．x＋4y－5=0
C．4x－y＋3=0 D．x＋4y＋3=0
2.曲线y=－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．0 C．4 D．－2
3.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2 C．e2 D.
4.若函数y=f(x)=x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则=( )
A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx
5.已知函数f(x)=sinx-cosx，且f′(x)=2f(x), 则tanx=( )
A．-3 B．3 C．1 D．-1
6.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)-f(x0)=aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)=a B．f′(x)=b C．f′(x0)=a D．f′(x0)=b
7.已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
8.下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
9.若指数函数f(x)=ax(a>0，a≠1)满足f′(1)=ln 27，则f′(-1)=( )
A．2 B．ln 3 C. D．-ln 3
10.设函数y=f(x)=x2-1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
11.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1，-2)及邻近一点(1＋Δx，-2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
12.设f(x)存在导函数，且满足 =-1，
则曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．-1 C．1 D．-2
二 、填空题
13.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1=0垂直，则a=________.
14.若f(x)=log3(2x-1)，则f′(2)=________.
15.已知函数f(x)=f′cos x＋sin x，则f的值为________．
16.已知函数f(x)=-x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t=________.
三 、解答题
17.已知s(t)=5t2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；
(3)求t=3秒时的瞬时速度．
18.求下列函数的导数：
(1)y=x8； (2)y=4x； (3)y=log3x； (4)y=sin； (5)y=e2.
19.已知曲线y=2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15=0，求切点P的坐标．
20.质点按规律s(t)=at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t=2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
参考答案
1.答案为：A；
解析：设切点为(x0，y0)，∵f′(x)=li =li (2x＋Δx)=2x.
由题意可知，切线斜率k=4，即f′(x0)=2x0=4，∴x0=2.
∴切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4=4(x－2)，即4x－y－4=0，故选A.
2.答案为：B；
解析：因为Δy=－2(Δx)2，所以=－2Δx，li =li (－2Δx)=0，
由导数的几何意义知切线的斜率为0.
3.答案为：D；
解析：∵y′=ex，∴切线的斜率k=e2，∴切线方程为y=e2x－e2，
它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1,0)，
∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
4.答案为：C；
解析：∵Δy=(2＋Δx)2－1－(22－1)=4Δx＋(Δx)2，∴==4＋Δx.
5.答案为：B；
解析：由f(x)=sinx-cosx，可得f′(x)=cosx＋sinx.又f′(x)=2f(x)，
∴cosx＋sinx=2(sinx-cosx)，整理得3cosx=sinx，∴tanx==3.故选B.
6.答案为：C；
解析：f′(x0)= = (a＋b·Δx)=a.
7.答案为：C；
解析：因为==4x＋2Δx，
所以f′(x)=li =li (4x＋2Δx)=4x.则点A处的切线斜率k=f′(2)=8.
8.答案为：C；
解析：f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，
切线的斜率不存在，但存在切线．
9.答案为：C；
解析：
f′(x)=axln a，由f′(1)=aln a=ln 27，
解得a=3，则f′(x)=3xln 3，故f′(-1)=.
10.答案为：A；
解析：===2.1.
11.答案为：C；
解析：====2Δx＋4.
12.答案为：B；
解析： = =f′(x)=-1.
二 、填空题
13.答案为：2；
解析：∵y=eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1=0垂直，又y′=aeax，∴a=2.
14.答案为：；
解析：∵f′(x)=[log3(2x-1)]′=(2x-1)′=，∴f′(2)=.
15.答案为：1；
解析：
∵f′(x)=-f′sin x＋cos x，∴f′=-f′×＋，
得f′=-1.∴f(x)=(-1)cos x＋sin x．∴f=1.
16.答案为：-2；
解析：
∵Δy=f(1)-f(t)=(-12＋1)-(-t2＋t)=t2-t，∴==-t.又∵=2，∴t=-2.
三 、解答题
17.解：(1)当3≤t≤3.1时，Δt=0.1，
Δs=s(3.1)－s(3)=5×(3.1)2－5×32=5×(3.1－3)×(3.1＋3)，
∴==30.5(m/s)．
(2)当3≤t≤3.01时，Δt=0.01，
Δs=s(3.01)－s(3)=5×(3.01)2－5×32=5×(3.01－3)×(3.01＋3)，
∴==30.05 (m/s)．
(3)在t=3附近取一个小时间段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)，
∴Δs=s(3＋Δt)－s(3)=5×(3＋Δt)2－5×32=5·Δt·(6＋Δt)，
∴==30＋5Δt.
当Δt趋于0时，趋于30.
∴在t=3时的瞬时速度为30 m/s.
18.解：
(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(4x)′=4xln 4.
(3)y′=(log3x)′=.
(4)y′=(cos x)′=-sin x.
(5)y′=(e2)′=0.
19.解：设切点P(x0，y0)，
由y′=li =li =li (4x＋2Δx)=4x，
得k=y′|x=x0=4x0，根据题意4x0=8，
x0=2，代入y=2x2－7得y0=1.
故所求切点为P(2,1)．
20.解：
∵Δs=s (2＋Δt)-s(2)=[a(2＋Δt)2＋1]-(a×22＋1)=4aΔt＋a(Δt)2，
∴=4a＋aΔt，
∴在t=2时，瞬时速度为 =4a,4a=8，∴a=2.
