初中人教版21.1 一元二次方程优质导学案
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阅读教材,回答下列问题:
1.观察下列方程:
①2x+3=3x-2 ; ②3x+ SKIPIF 1 < 0 =4; ③x+2y =1; ④ SKIPIF 1 < 0 ; ⑤x2-5x+5=0; ⑥ SKIPIF 1 < 0 .
(1)上面6个方程中,你已经学习过的方程有__________ (填写序号),这些方程的名称依次是___________________________________________。
(2)这些方程中,方程左、右两边都是整式的有__________ (填写序号); 方程左或右边含有分式的有______________(填写序号).
2. (1)一元一次方程中的元和次的意义分别是什么?
(2)下列方程有哪些共同特征?它们与一元一次方程有什么不同?
(1) x2 +2x-4 = 0; (2)x2 -2=0; (3x2+ 5x=0; (4)(x-1)(x+2) =1.
3.请写出一元二次方程的定义:________________的方程叫做一元二次方程.
4. (1)一元一次方程的解的意义是什么?
(2)类比一元一次方程的解的意义,你认为x=1是方程x2+x-2=0的解吗? -3,-2,-1, 0,2,3呢?
归纳梳理
1一个方程是一元二次方程,必须同时满足三个条件: ①含有_____未知数; ②未知数的最高次数是______ ; ③是______式方程.
2.关于二的一元二次方程,其一般形式是 ,其中二次项是_________,二次项系数是_________,一次项是______,一次项系数是________,常数项是________。 需要注意的是,二次项系数a必须满足条件_______,若a=0且b≠0,则方程ax2+bx+c=0变为一元_____次方程.
3.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______。
典例解析
1.根据定义判断一个方程是否是一元二次方程
【例1】下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2+2x﹣y=3 B. C.(3x2﹣1)2﹣3=0 D.x2﹣8=x
总结:一元二次方程必须满足四个条件:
是整式方程;
含有一个未知数;
未知数的最高次数是2;
二次项系数不为0.
练1关于x的方程:(a﹣1)+x+a2﹣1=0,求当a= 时,方程是一元二次方程;当a= 时,方程是一元一次方程.
2.把一元二次方程化成一般形式(写出其二次项系数、一次项系数和常数项)
【例2】一元二次方程(1﹣3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 ;
它的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .
总结:一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)
(1)特别要注意a≠0的条件;
(2)在一般形式中,ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项,其中a,b,c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项.
练2.将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数.
练3.将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后,如果二次项系数是4,则一次项系数和常数项分别是( )
A.5,81 B.5,﹣81 C.﹣5,81 D.5x,﹣81
3.根据一元二次方程的根求参数
【例3】若0是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根,则m值为( )
A.1 B.0 C.1或2 D.2
总结:
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解,但是有解就一定有两个解.
可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一个解,将这个解直接代入原方程,原方程仍然成立,由此可求解原方程中的字母参数.
若二次项系数含有字母参数,求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略,谨记.
练4.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2﹣1=0的一根是0,则a= .
练5.关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2,则n2+n﹣2= .
课堂小练
一、选择题
LISTNUM OutlineDefault \l 3 要使方程(a﹣3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.a≠0 B.a≠3
C.a≠1且b≠﹣1 D.a≠3且b≠﹣1且c≠0
LISTNUM OutlineDefault \l 3 关于x的方程(a2﹣1)x2﹣3x+2=0是一元二次方程,则( )
A.a≠1 B.a>1 C.a≠0 D.a≠±1
LISTNUM OutlineDefault \l 3 若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解.则m的值是( )
A.6 B.5 C.2 D.﹣6
LISTNUM OutlineDefault \l 3 关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0,则实数a的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1或1
LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程3x2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为( )
A.3 B.﹣ C. D.﹣9
LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列方程是一元二次方程的一般形式的是( )
A.(x﹣1)2=16 B.3(x﹣2)2=27 C.5x2﹣3x=0 D. x2+2x=8
LISTNUM OutlineDefault \l 3 一元二次方程4x2﹣3x﹣5=0的一次项系数是( )
A.﹣5 B.4 C.﹣3 D.3
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是( )
A.﹣3 B.3 C.0 D.0或3
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.-2
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则常数k的值为 ( )
A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1
二、填空题
LISTNUM OutlineDefault \l 3 关于x的方程(m-1)xm2-2-5x-1=0是一元二次方程,那么m= .
LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x2﹣3x+1=0的一次项系数是 .
LISTNUM OutlineDefault \l 3 把一元二次方程3x(x﹣2)=4化为一般形式是 .
LISTNUM OutlineDefault \l 3 若关于x的方程(a+3)x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程,则a的值为 .
LISTNUM OutlineDefault \l 3 把方程:3x(x-1)=(x+2)(x-2)+9化成一般形式为 .
参考答案
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:B.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:D.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 A
LISTNUM OutlineDefault \l 3 A
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:D
LISTNUM OutlineDefault \l 3 C
LISTNUM OutlineDefault \l 3 C
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:A;
LISTNUM OutlineDefault \l 3 A
LISTNUM OutlineDefault \l 3 C
LISTNUM OutlineDefault \l 3 解得m=﹣2.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:﹣3
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:3x2﹣6x﹣4=0.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:3.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:2x2-3x-5=0
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