人教版九年级上册21.2.1 配方法优秀导学案

这是一份人教版九年级上册21.2.1 配方法优秀导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，知识回顾，新知讲解，典例探究等内容，欢迎下载使用。

一、学习目标


了解形如的一元二次方程的解法——直接开平方法；能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解．


二、知识回顾


1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？


平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．


用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．


记作x=，即x=或x=．


平方根的性质：


（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；


（2）0的平方根是0；


（3）负数没有平方根．


2．x2=4，则x=±2.


想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？


三、新知讲解


直接开平方法解一元二次方程


一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．


对结构形如的一元二次方程来说，因为，所以在方程两边直接开平方，可得，进而求得．


注：


（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义．


（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”．


（3）当时，方程没有实数根．


四、典例探究


1．用直接开平方法求一元二次方程的解


【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0； （2）（2x﹣3）2=25．

















总结：运用直接开平方法解一元二次方程，首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式，右边化为非负数的形式，然后直接用开平方的方法求解．











练1．解方程：（2x+3）2﹣25=0











练2．解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2．














2．用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围


【例2】若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（ ）


A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0


总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.


练3．已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（ ）


A．n=0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号


练4．如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是 ．





解一元二次方程-配方法


一、学习目标


1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；


2．学会利用配方法解一元二次方程.


二、知识回顾


1．形如(≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，


立即可得ax+m=±，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.


2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,


那么利用直接开平方法可得x＝ ±或mx＋n=±．


三、新知讲解


1．配方法的依据


配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．


2．配方法的步骤


（1）化—— 化二次项系数为1


如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.


（2）移——移项


通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 ，右边为 常数项 .


（3）配——配方


在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，


根据完全平方公式把原方程变为(≥0)的形式．


（4）解——用直接开平方法解方程.


四、典例探究


1．配方法解一元二次方程


【例1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）


A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100


B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25


C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=


D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=


总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：


（1）把二次项的系数化为1；


（2）把常数项移到等号的右边；


（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．


（4）用直接开平方法解这个方程.











练1用配方法解方程：


x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.








2．用配方法求多项式的最值


【例2】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．














总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.


练2用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．











练3已知a、b、c为△ABC三边的长．


（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．


（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．


























课堂小练


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x2﹣4=0的根是（ ）


A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=2，x2=﹣2 D.x=4


LISTNUM OutlineDefault \l 3 将一元二次方程x2－2x－2=0配方后所得的方程是( )


A.(x－2)2=2 B.(x－1)2=2 C.(x－1)2=3 D.(x－2)2=3


LISTNUM OutlineDefault \l 3 用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0，下列变开征确的是( )


A.(x-6)2=-4+36 B.(x-6)2=4+36 C.(x-3)2=-4+9 D.(x-3)2=4+9


LISTNUM OutlineDefault \l 3 用配方法解方程x2＋1=8x，变形后的结果正确的是( )


A.(x＋4)2=15 B.(x＋4)2=17 C.(x－4)2=15 D.(x－4)2=17


LISTNUM OutlineDefault \l 3 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是( )


A.(x﹣2)2=1 B.(x﹣2)2=4 C.(x﹣2)2=5 D.(x﹣2)2=3


LISTNUM OutlineDefault \l 3 用配方法解下列方程，配方正确的是( )


A.2y2﹣4y﹣4=0可化为(y﹣1)2=4 B.x2﹣2x﹣9=0可化为(x﹣1)2=8


C.x2+8x﹣9=0可化为(x+4)2=16 D.x2﹣4x=0可化为(x﹣2)2=4


LISTNUM OutlineDefault \l 3 用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方程可变形为( )


A.(x+2)2=9B.(x-2)2=9 C.(x+2)2=1D.(x-2)2=1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）


A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+3)2=4 D.(x﹣3)2=4


LISTNUM OutlineDefault \l 3 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）


A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100


B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25


C.2t2-7t-4=0化为


D.3y2-4y-2=0化为


LISTNUM OutlineDefault \l 3 一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )


A．48 B．24 C．24或40 D．48或80


二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x2﹣16=0的解为 ．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若将方程x2＋6x=7化为(x＋m)2=16，则m=________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成（x+m）2=n的形式（m、n为常数），则m+n= .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 一元二次方程x2﹣8x﹣1=0的解为 ．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 将方程x2-4x-1=0化为(x-m)2=n的形式,其中m,n是常数,则m+n= .





参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x=±4．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：3


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：41.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案是：x1=4+，x2=4﹣．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:7