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2021年人教版数学八年级下册第二次月考复习试卷三（含答案）
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2021年人教版数学八年级下册第二次月考复习试卷
一、选择题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
3．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
4．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（ ）
A．8 B．10 C．20 D．32
6．已知=﹣x，则（ ）
A．x≤0 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x≤0
7．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
9．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（ ）
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
二.填空题
11．已知xy=8，求代数式x+y= ．
12．计算： = ．
13．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 ．
14．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为 ．
15．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
16．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
17．如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为 ．
18．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 ．
19．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小是 ．
三.解答题
20．计算：
（1）； （2）．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°，量出DC=2m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB．
23．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学．为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园．
（1）在图中画出点C．
（2）问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
24．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
25．如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
26．（10分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．所有[:网]
【解答】解：A、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、=2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故B选项错误；
C、=2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故D选项正确．
故选：D．
2．正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
【考点】LE：正方形的性质．所有
【解答】解：设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选：B．
3．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
【考点】L8：菱形的性质；KQ：勾股定理．所有
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO=AC，BO=BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，S菱形ABCD=×8×6=24，
∴AB==5，S△AOB=6，
∵•AB•EO=×AO×BO，
∴5EO=4×3，
EO=，
故选：C．
4．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
【考点】KQ：勾股定理．所有
【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+，
故选C．
5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（ ）
A．8 B．10 C．20 D．32
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．所有
【解答】解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，
矩形的面积是32，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵△ACD′由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠ACD′，
∴∠ACD′=∠CAB，
∴AF=CF，
∵BF=AB﹣AF=8﹣AF，
∴CF2=BF2+BC2
∴AF2=（8﹣AF）2+42
∴AF=5，BF=3
∴S△AFC=S△ABC﹣S△BFC=10．
故选B．
6．已知=﹣x，则（ ）
A．x≤0 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x≤0
【考点】73：二次根式的性质与化简．所有
【解答】解：∵=﹣x≥0，
∴x≤0，x+3≥0，
∴﹣3≤x≤0，
故选D．
7．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【考点】KS：勾股定理的逆定理；K7：三角形内角和定理．所有
【解答】解：①三边长之比为3：4：5；则有（3x）2+（4x）2=（5x）2，为直角三角形；
②三个内角度数之比为3：4：5，
则各角度数分别为180°×=45°，180°×=60°，180°×=75°，不是直角三角形；
③∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴是直角三角形，∠C是直角．
④∵（+1）2+（﹣1）2≠62，∴不是直角三角形；
故选：A．
8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
【考点】KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，
x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5
所以水深2.5﹣0.5=2米．
故选A．
9．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（ ）
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
【考点】L8：菱形的性质；LE：正方形的性质．所有
【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则∠FAB=22.5°，
故选：C．
10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+；
⑤S正方形ABCD=4+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【考点】LE：正方形的性质；KB：全等三角形的判定；KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB（故①正确）；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED（故③正确）；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE===，
∴BF=EF=（故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+）﹣××=+．（故④不正确）．
⑤∵EF=BF=，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，
∴S正方形ABCD=AB2=4+（故⑤正确）；
故选：D．
二.填空题（本大题共9小题，共27分）
11．已知xy=8，求代数式x+y= ±4 ．
【考点】78：二次根式的加减法．所有
【解答】解：∵xy=8，
∴当x＜0，y＜0时，原式=+=﹣2=﹣4；
当x＞0，y＞0时，原式=4．
故答案为：±4
12．计算： = 5﹣2 ．
【考点】79：二次根式的混合运算．所有
【解答】解：原式=[（2+5）（2﹣5）2007•（2﹣5）
=（24﹣25）2007•（2﹣5）
=﹣（2﹣5）
=5﹣2．
故答案为5﹣2．
13．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 3 ．
【考点】KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：由题意可知FG=、EF=2、CG=，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG===，
在Rt△EGC中，EG=，CG=，
由勾股定理得CE==3，
故答案为：3．
14．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为 ②③ ．
【考点】KS：勾股定理的逆定理；K6：三角形三边关系．所有
【解答】解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误；
（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即a+b+，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch
又∵2ab=2ch=4S△ABC
∴（a+b）2+h2=（c+h）2，根据勾股定理的逆定理
即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
（4）若以的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a=3，b=4，c=5，
∵（）2+（）2≠（）2，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故填②③．
15．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的结论的序号是 ①④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【考点】L5：平行四边形的性质．所有
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，
∵ABh1+CDh3=AB•hAB， BCh2+ADh4=C•hBC，
又∵S平行四边形ABCD=AB•hAB=BC•hBC
∴S2+S4=S1+S3，故①正确；
根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；
根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；
∵S1﹣S2=S3﹣S4，
∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，
此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，
即P点一定在对角线BD上，
∴④正确；
故答案为：①④．
16．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 30或14 ．
【考点】LB：矩形的性质．所有
【解答】解：
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴x•4x=36，
解得：x=3，
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴3x•4x=36，
解得：x=，
即AD=BC=4x=4，AB=CD=3x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+3）=14；
故答案为：30或14．
17．如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为 24 ．
【考点】LE：正方形的性质．所有
【解答】解：S四边形BMQN=S正方形ABCD﹣（S△ADN+S△DMC﹣S四边形PQRD）﹣S△APM﹣S△CNR
=S正方形ABCD﹣S正方形ABCD+S四边形PQRD﹣S△APM﹣S△CNR
=51﹣15﹣12
=24．
故答案为：24．
18．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 （﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；L5：平行四边形的性质．所有
【解答】解：过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F
∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）；
∴BC∥x轴∥AD，又A（﹣2，1）．
∴点D纵坐标为1；
∵▱ABCD中，AE⊥BC，DF⊥BC．
∴△ABE≌△DCF
∴CF=BE=1；
∴点D横坐标为1+1=2
∴点D（2，1）．
同理可得D点坐标还可以为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）；
故点D为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）．
19．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小是 15°或165° ．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．所有
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
分两种情况：
①如图，当正△AEF在正方形ABCD内部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）=15°
②如图，当正△AEF在正方形ABCD外部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF=（360°﹣90°+60°）=165°
故答案为：15°或165°．
三.解答题（本大题共7小题，共66分）
20．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【考点】79：二次根式的混合运算．所有
【解答】解：（1）原式=5+2+2﹣（5﹣2+2）
=7+2﹣7+2
=4；
（2）原式=（9+﹣2）÷4
=8÷4
=2．
21．（5分）先化简，再求值：，其中．
【考点】6D：分式的化简求值．
【解答】解：原式=•=•=，
当a=﹣1时，原式=．
22．（10分）如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°，量出DC=2m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB．
【考点】KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：∵在D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°，
∴∠ADE=30°，ED=CB=30cm，
∴AE=DE•tan30°=30×=10，
∵DC=2m，
则树高AB=AE+EB=AE+DC=（10+2）m．
答：树高AB约为（10+2）米．
23．（10分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学．为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园．
（1）在图中画出点C．
（2）问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．所有
【解答】解：（1）根据题意如图：
（2）过点C作CD⊥AB于D，
设CD为xkm，则BD为xkm，AD为km，则有x+x=2，
解得：x=﹣1≈0.7321＞0.7，
则计划修筑的这条公路不会穿过公园．
24．（10分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°；
又∵∠4=∠2=60°，
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°．
（2）在直角△ABE中，由（1）知∠3=60°，
∴∠5=90°﹣60°=30°；
∴BE=2AE=2，
∴AB==；
∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3，
∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB•AD=×3=3．
25．（10分）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】R2：旋转的性质；KB：全等三角形的判定；KH：等腰三角形的性质；L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．所有
【解答】（1）证明：在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．
（2）解：▱APCD是矩形．理由如下：
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
则AC=PD，
∴▱APCD是矩形．
（3）解：EM=EN．
证明：∵EA=EP，
∴∠EPA===90°﹣α，
∴∠EAM=180°﹣∠EPA=180°﹣（90°﹣α）=90°+α，
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°﹣α+α=90°+α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，[:Z。xx。k.Com]
∴∠AEP﹣∠AEN=∠MEN﹣∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．
26．（10分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．所有
【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，[:Z。xx。k.Com]
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
一、选择题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
3．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
4．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（ ）
A．8 B．10 C．20 D．32
6．已知=﹣x，则（ ）
A．x≤0 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x≤0
7．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
9．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（ ）
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
二.填空题
11．已知xy=8，求代数式x+y= ．
12．计算： = ．
13．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 ．
14．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为 ．
15．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
16．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
17．如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为 ．
18．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 ．
19．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小是 ．
三.解答题
20．计算：
（1）； （2）．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°，量出DC=2m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB．
23．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学．为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园．
（1）在图中画出点C．
（2）问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
24．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
25．如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
26．（10分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．所有[:网]
【解答】解：A、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、=2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故B选项错误；
C、=2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故D选项正确．
故选：D．
2．正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
【考点】LE：正方形的性质．所有
【解答】解：设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选：B．
3．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
【考点】L8：菱形的性质；KQ：勾股定理．所有
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO=AC，BO=BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，S菱形ABCD=×8×6=24，
∴AB==5，S△AOB=6，
∵•AB•EO=×AO×BO，
∴5EO=4×3，
EO=，
故选：C．
4．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
【考点】KQ：勾股定理．所有
【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+，
故选C．
5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（ ）
A．8 B．10 C．20 D．32
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．所有
【解答】解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，
矩形的面积是32，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵△ACD′由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠ACD′，
∴∠ACD′=∠CAB，
∴AF=CF，
∵BF=AB﹣AF=8﹣AF，
∴CF2=BF2+BC2
∴AF2=（8﹣AF）2+42
∴AF=5，BF=3
∴S△AFC=S△ABC﹣S△BFC=10．
故选B．
6．已知=﹣x，则（ ）
A．x≤0 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x≤0
【考点】73：二次根式的性质与化简．所有
【解答】解：∵=﹣x≥0，
∴x≤0，x+3≥0，
∴﹣3≤x≤0，
故选D．
7．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【考点】KS：勾股定理的逆定理；K7：三角形内角和定理．所有
【解答】解：①三边长之比为3：4：5；则有（3x）2+（4x）2=（5x）2，为直角三角形；
②三个内角度数之比为3：4：5，
则各角度数分别为180°×=45°，180°×=60°，180°×=75°，不是直角三角形；
③∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴是直角三角形，∠C是直角．
④∵（+1）2+（﹣1）2≠62，∴不是直角三角形；
故选：A．
8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
【考点】KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，
x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5
所以水深2.5﹣0.5=2米．
故选A．
9．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（ ）
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
【考点】L8：菱形的性质；LE：正方形的性质．所有
【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则∠FAB=22.5°，
故选：C．
10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+；
⑤S正方形ABCD=4+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【考点】LE：正方形的性质；KB：全等三角形的判定；KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB（故①正确）；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED（故③正确）；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE===，
∴BF=EF=（故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+）﹣××=+．（故④不正确）．
⑤∵EF=BF=，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，
∴S正方形ABCD=AB2=4+（故⑤正确）；
故选：D．
二.填空题（本大题共9小题，共27分）
11．已知xy=8，求代数式x+y= ±4 ．
【考点】78：二次根式的加减法．所有
【解答】解：∵xy=8，
∴当x＜0，y＜0时，原式=+=﹣2=﹣4；
当x＞0，y＞0时，原式=4．
故答案为：±4
12．计算： = 5﹣2 ．
【考点】79：二次根式的混合运算．所有
【解答】解：原式=[（2+5）（2﹣5）2007•（2﹣5）
=（24﹣25）2007•（2﹣5）
=﹣（2﹣5）
=5﹣2．
故答案为5﹣2．
13．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 3 ．
【考点】KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：由题意可知FG=、EF=2、CG=，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG===，
在Rt△EGC中，EG=，CG=，
由勾股定理得CE==3，
故答案为：3．
14．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为 ②③ ．
【考点】KS：勾股定理的逆定理；K6：三角形三边关系．所有
【解答】解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误；
（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即a+b+，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch
又∵2ab=2ch=4S△ABC
∴（a+b）2+h2=（c+h）2，根据勾股定理的逆定理
即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
（4）若以的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a=3，b=4，c=5，
∵（）2+（）2≠（）2，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故填②③．
15．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的结论的序号是 ①④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【考点】L5：平行四边形的性质．所有
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，
∵ABh1+CDh3=AB•hAB， BCh2+ADh4=C•hBC，
又∵S平行四边形ABCD=AB•hAB=BC•hBC
∴S2+S4=S1+S3，故①正确；
根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；
根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；
∵S1﹣S2=S3﹣S4，
∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，
此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，
即P点一定在对角线BD上，
∴④正确；
故答案为：①④．
16．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 30或14 ．
【考点】LB：矩形的性质．所有
【解答】解：
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴x•4x=36，
解得：x=3，
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴3x•4x=36，
解得：x=，
即AD=BC=4x=4，AB=CD=3x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+3）=14；
故答案为：30或14．
17．如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为 24 ．
【考点】LE：正方形的性质．所有
【解答】解：S四边形BMQN=S正方形ABCD﹣（S△ADN+S△DMC﹣S四边形PQRD）﹣S△APM﹣S△CNR
=S正方形ABCD﹣S正方形ABCD+S四边形PQRD﹣S△APM﹣S△CNR
=51﹣15﹣12
=24．
故答案为：24．
18．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 （﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；L5：平行四边形的性质．所有
【解答】解：过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F
∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）；
∴BC∥x轴∥AD，又A（﹣2，1）．
∴点D纵坐标为1；
∵▱ABCD中，AE⊥BC，DF⊥BC．
∴△ABE≌△DCF
∴CF=BE=1；
∴点D横坐标为1+1=2
∴点D（2，1）．
同理可得D点坐标还可以为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）；
故点D为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）．
19．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小是 15°或165° ．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．所有
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
分两种情况：
①如图，当正△AEF在正方形ABCD内部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）=15°
②如图，当正△AEF在正方形ABCD外部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF=（360°﹣90°+60°）=165°
故答案为：15°或165°．
三.解答题（本大题共7小题，共66分）
20．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【考点】79：二次根式的混合运算．所有
【解答】解：（1）原式=5+2+2﹣（5﹣2+2）
=7+2﹣7+2
=4；
（2）原式=（9+﹣2）÷4
=8÷4
=2．
21．（5分）先化简，再求值：，其中．
【考点】6D：分式的化简求值．
【解答】解：原式=•=•=，
当a=﹣1时，原式=．
22．（10分）如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°，量出DC=2m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB．
【考点】KU：勾股定理的应用．所有
【解答】解：∵在D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°，
∴∠ADE=30°，ED=CB=30cm，
∴AE=DE•tan30°=30×=10，
∵DC=2m，
则树高AB=AE+EB=AE+DC=（10+2）m．
答：树高AB约为（10+2）米．
23．（10分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学．为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园．
（1）在图中画出点C．
（2）问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．所有
【解答】解：（1）根据题意如图：
（2）过点C作CD⊥AB于D，
设CD为xkm，则BD为xkm，AD为km，则有x+x=2，
解得：x=﹣1≈0.7321＞0.7，
则计划修筑的这条公路不会穿过公园．
24．（10分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°；
又∵∠4=∠2=60°，
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°．
（2）在直角△ABE中，由（1）知∠3=60°，
∴∠5=90°﹣60°=30°；
∴BE=2AE=2，
∴AB==；
∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3，
∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB•AD=×3=3．
25．（10分）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】R2：旋转的性质；KB：全等三角形的判定；KH：等腰三角形的性质；L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．所有
【解答】（1）证明：在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．
（2）解：▱APCD是矩形．理由如下：
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
则AC=PD，
∴▱APCD是矩形．
（3）解：EM=EN．
证明：∵EA=EP，
∴∠EPA===90°﹣α，
∴∠EAM=180°﹣∠EPA=180°﹣（90°﹣α）=90°+α，
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°﹣α+α=90°+α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，[:Z。xx。k.Com]
∴∠AEP﹣∠AEN=∠MEN﹣∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．
26．（10分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．所有
【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，[:Z。xx。k.Com]
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
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