2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习2 基本不等式（解析版）

练习2   基本不等式

1．（2020秋•如皋市期中）若x≥y，则下列不等式中一定成立的是（　　）

A．x2+y2≥2xy B． C．2x≤2y D．x2≥y2

【分析】根据完全平方公式判断A，根据基本不等式判断B，根据指数函数的性质判断C，取特殊值判断D．

【解答】解：由x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，故A正确；

当＜0时，选项B不成立，

由y＝2x为增函数，∵x≥y，∴2x≥2y，故C错误；

当x＝0，y＝﹣1时，选项D不正确，

故选：A．

2．（2020秋•常州期中）若x，y均大于零，且x+y＝2，则的最小值为（　　）

A．5 B．4 C．9 D．

【分析】由题设利用基本不等式求得结果即可．

【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，

∴+＝（x+y）（+）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当时取“＝“，

故选：D．

3．（2020秋•南京期中）已知a＞0，b＞0且a+3b＝1，则2a+8b的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．6 D．8

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：因为a＞0，b＞0且a+3b＝1，

则2a+8b＝2＝2，

当且仅当a＝3b＝即a＝，b＝时取等号，

故选：A．

4．（2020秋•苏州期中）已知a＞0，b＞0，a+b＝3，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．9

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b＝3，可得a+b+1＝4，

则＝[a+（b+1）]（）＝＝，

当且仅当且a+b＝3即b＝，a＝时取等号，

故选：B．

5．（2020秋•高邮市期中）若对满足条件xy＝x+y（x＞0，y＞0）的任意x，y，不等式2x+y﹣k＞0恒成立，则实数k的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【分析】先由xy＝x+y（x＞0，y＞0）⇒+＝1，再利用基本不等式求得2x+y的最小值，然后根据不等式2x+y﹣k＞0恒成立求得k的取值范围．

【解答】解：由xy＝x+y（x＞0，y＞0）可得：+＝1，

∴2x+y＝（2x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当时取“＝“，

∵不等式2x+y﹣k＞0恒成立，

∴k＜（2x+y）min＝3+2，

故选：B．

6．（多选）（2020秋•常州期中）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中，正确的有（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用不等式的性质和基本关系式的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】解：对于A：由于正实数a，b满足a+b＝1，则a+b，所以，故A正确；

对于B：＝2+≥2+2＝4，故B错误；

对于C：由于，所以，由于a+b＝1，所以，故C正确；

对于D：由于2（a2+b2）≥（a+b）2，所以成立，故D正确；

故选：ACD．

7．（多选）（2020秋•启东市期中）设正实数x，y满足x+2y＝3，则下列说法正确的是（　　）

A．的最小值为4 B．xy的最大值为 

C．的最小值为 D．x2+4y2的最小值为

【分析】分别根据基本不等式即可判断．

【解答】解：对于A，+＝+＝++2≥2+2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确；

对于B，xy＝•x•2y≤×（）2＝×＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故B正确；

对于C，（+）2＝x+2y+2≤3+2＝3+3＝6，则+≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，故C错误；

对于D：x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy≥9﹣4×＝，x＝，y＝时取等号，故D正确．

故选：ABD．

8．（2020秋•连云港期中）已知x＞1，则x++3的最小值是　 　．

【分析】由题设条件利用基本不等式求得结果．

【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，

∴x++3＝（x﹣1）++4≥2+4＝6，当且仅当x＝2时取“＝“，

故答案为：6．

9．（2020秋•海门市校级期中）已知x＞0，y＞0，则当取得最小值时，x﹣y＝　　   ．

【分析】由已知结合基本不等式可求出取得最小值时的x，y进而可求x﹣y．

【解答】解：x＞0，y＞0，

则≥4，

当且仅当x＝4y且4＝即y＝，x＝1时取等号，

此时x﹣y＝．

故答案为：．

10．（2020秋•菏泽期中）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则＝　   　，b+c+的最小值为　  　．

【分析】根据不等式的解集可得a，b，c之间的关系，然后将b+c+用a表示，再用基本不等式求其最小值即可．

【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，

∴2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＞0，

∴2+3＝﹣，2×3＝，

即b＝﹣5a，c＝6a，

∴＝﹣，

∴b+c+＝﹣5a+6a+＝a+2+﹣2≥2﹣2＝10﹣2＝8，

当且仅当a+2＝，即a＝3时取等号，

故b+c+的最小值为8，

故答案为：﹣，8．

11．（2020秋•江苏期中）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段　  　的长度是a，b的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为　　       ．

【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．

【解答】解：由题意得：OD＝，CD＝，

由于CD⊥OC，CE⊥OD，

所以△OCD∽△CEO，

则，故，

解得，

利用直角三角形的边的关系，所以OD＞CD＞DE．

当O和C重合时，OD＝CD＝DE，

所以．

故答案为：DE；

12．（2020秋•南京期中）设正实数x，y满足．

（1）求xy的最小值，并指出最小值时相应的x，y的值；

（2）求2x+y的最小值，并指出取得最小值时相应的x，y的值．

【分析】（1）因为x，y是正实数，根据基本不等式得，1＝+≥2解出xy的取值范围，当且仅当＝时取等号；

（2）因x，y是正实数，根据1的代换，利用基本不等式得，2x+y＝（2x+y）（+）求得最小值即可．

【解答】解：（1）因为x，y是正实数，则1＝+≥2＝，即xy≥8，

当且仅当＝＝时取等号，由x＝4，y＝2，

所以xy的最小值是8，x＝4，y＝2．

（2）因x，y是正实数，

则2x+y＝（2x+y）（+）＝5++≥5+2＝9，

当且仅当x＝y＝3时取等号，

所以2x+y的最小值是9，此时x＝y＝3．

13．（2019春•连云港期末）已知x＞0，y＞0，2x﹣＝﹣y，则2x+y的最小值为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

【分析】由题意可得2x+y＝+，即有（2x+y）2＝（+）（2x+y），展开后运用基本不等式，计算可得所求最小值．

【解答】解：x＞0，y＞0，2x﹣＝﹣y，

可得2x+y＝+，

即有（2x+y）2＝（+）（2x+y）＝10++≥10+2＝18，

即有2x+y≥3，当且仅当y＝2，x＝时，2x+y取得最小值3．

故选：C．

14．（2020秋•泰州期中）已知正实数x，y满足x+y＝1，则+的最小值为　     　．

【分析】先由题设⇒+＝﹣1+，令t＝3﹣x∈（2，3），得到：+＝﹣1+，再利用基本不等式求得其最小值即可．

【解答】解：∵正实数x，y满足x+y＝1，

∴y＝1﹣x，x∈（0，1），

∴+＝+＝﹣1++＝﹣1+，

令t＝3﹣x∈（2，3），

则+＝﹣1+＝﹣1+＝﹣1+≥﹣1+＝﹣1+5+2＝4+2，

当且仅当t＝时取“＝“，

故答案为：4+2．

15．（2020秋•海门市校级月考）（1）已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为多少？

（2）已知a＞b＞0，则的最小值是多少？

【分析】（1）令t＝xy，t＞0，则y＝，然后代入后结合基本不等式即可求解，

（2）由已知＝，＝ab++a（a﹣b）+，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：（1）令t＝xy，t＞0，则y＝，

∴10＝x++3y+＝x+＝（1+）x+＝2，

整理可得，3t2﹣11t+8≤0，

解可得，1，

故1，

（2）∵a＞b＞0，

∴a﹣b＞0，

则＝，

＝ab++a（a﹣b）+，

＝2+2＝4，

当且仅当ab＝且a（a﹣b）＝即a＝，b＝时取等号，

此时取得最小值4．