2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习1 一元二次不等式（解析版）

练习1   一元二次不等式

1．（2020秋•昆山市期中）不等式x（x﹣2）＜8的解集是（　　）

A．{x|﹣4＜x＜2} B．{x|x＜﹣4或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜4} D．{x|x＜﹣2或x＞4}

【分析】不等式化为x2﹣2x﹣8＜0，求出解集即可．

【解答】解：不等式x（x﹣2）＜8可化为x2﹣2x﹣8＜0，

即（x﹣4）（x+2）＜0，

解得﹣2＜x＜4，

所以不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．

故选：C．

2．（2020秋•泰兴市期中）已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）

A．{x|﹣＜x＜1} B．{x＜﹣1或x＞} 

C．{x|﹣1＜x＜} D．{x|x＜﹣或x＞1}

【分析】根据不等式ax2﹣bx+2＞0的解集求出a、b的值，再代入不等式2x2+bx+a＜0中求解集．

【解答】解：不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，

所以﹣1，2是方程ax2+bx+2＝0的两个实数根，且a＜0，

由根与系数的关系知，解得a＝﹣1，b＝﹣1；

所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0，

解得﹣＜x＜1；

所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x|﹣＜x＜1}．

故选：A．

3．（2020秋•常州期中）不等式（a2﹣9）x2+（a+3）x﹣1≥0的解集是空集，则实数a的范围为（　　）

A．（﹣3，） B．[﹣3，） C．[﹣3，] D．[﹣3，）∪{3}

【分析】根据二次项的系数含有参数分情况讨论，再由解集是空集和二次方程的解法列出不等式分别求解即可．

【解答】解：令a2﹣9＝0，解得a＝±3；

当a＝3时，不等式化为6x﹣1≥0，解得x≥，不合题意，舍去；

当a＝﹣3时，不等式化为﹣1≥0，无解，符合题意；

当a2﹣9≠0，即a≠±3时，

由（a2﹣9）x2+（a+3）x﹣1≥0的解集是空集，

所以，

解得﹣3＜a＜，

综上得，实数a的取值范围是[﹣3，）．

故选：B．

4．（2020秋•南京期中）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1] B．[0，1] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）

【分析】讨论a＝0、a＜0和a＞0时，求出不等式有解时a的取值范围．

【解答】解：a＝0时，不等式为2x+1＜0，有实数解，满足题意；

a＜0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；

a＞0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，应满足△＝4﹣4a＞0，解得a＜1；

综上知，a的取值范围是（﹣∞，1）．

故选：D．

5．（2020秋•玄武区校级月考）若关于x的不等式（x﹣2）（x﹣a﹣4）＜0的解集中恰有三个正整数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1] B．（1，2） 

C．[﹣6，﹣5）∪（1，2] D．（1，2]

【分析】根据不等式的解集中恰有三个正整数，得出a+4＞2，再由不等式的解集求出a的取值范围．

【解答】解：不等式（x﹣2）（x﹣a﹣4）＜0的解集中恰有三个正整数，

所以a+4＞2，不等式的解是2＜x＜a+4，

由不等式的解集中不可能有三个正整数，

所以这三个正整数分别是3，4，5；

则5＜a+4≤6，

解得1＜a≤2，

所以a的取值范围是（1，2]．

故选：D．

6．（多选）（2020秋•常熟市期中）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则下列正确的是（　　）

A．a＜0 

B．关于x的不等式bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣6） 

C．a+b+c＞0 

D．关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

【分析】先由已知可得a＜0且b＝﹣a，c＝﹣6a，然后代入各个选项验证是否正确即可．

【解答】解：由已知可得a＜0且﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确，

则由根与系数的关系可得：，解得b＝﹣a，c＝﹣6a，

则不等式bx+c＞0可化为：﹣ax﹣6a＞0，即x+6＞0，所以x＞﹣6，B错误，

a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，C正确，

不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：﹣6ax2+ax+a＞0，即6x2﹣x﹣1＞0，

解得x或x，D正确，

故选：ACD．

7．（多选）（2020秋•玄武区校级月考）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣，2），则下列结论正确的是（　　）

A．a＞0 B．b＞0 C．c＞0 D．a+b+c＞0

【分析】根据一元二次不等式与对应的二次函数和方程的关系，对选项中的命题判断正误即可．

【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣，2），

所以相应的二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象开口向下，即a＜0，所以A错误．

由2和﹣是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则有＝﹣1＜0，﹣＞0；

又a＜0，所以b＞0，c＞0，所以B、C正确．

由二次函数的图象可知f（1）＝a+b+c＞0，f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，所以D正确．

故选：BCD．

8．（2020春•镇江期末）不等式﹣3x2+x+2＞0的解集为　       　．

【分析】直接利用二次不等式的解法求解即可．

【解答】解：﹣3x2+x+2＞0⇒3x2﹣x﹣2＜0⇒3（x+）（x﹣1）＜0，

∴﹣＜x＜1．

不等式的解集为：（﹣，1）

故答案为：（﹣，1）．

9．（2020秋•常州期中）已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，则a﹣b＝　   　．

【分析】由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再计算a﹣b．

【解答】解：不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，

所以对应方程x2﹣5ax+b＝0的解为1和4，

由根与系数的关系知，，

解得a＝1，b＝4，

所以a﹣b＝1﹣4＝﹣3．

故答案为：﹣3．

10．（2020•连云港模拟）若关于x的不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是　     　．

【分析】分别讨论m＝0和m≠0，利用不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，解出m的取值范围．

【解答】解：若m＝0，则原不等式等价为1＜0，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即m≠0．

若m≠0，要使不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，则

①m＞0时，有△＝m2﹣4m＞0，解得m＞4．

②若m＜0，则满足条件．

综上满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．

故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）．

11．（2020秋•蒸湘区校级月考）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有实数解，则实数a的取值范围是　          　

【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜，其中x∈[1，4]，

求出f（x）＝﹣x在x∈[1，4]的最大值即可．

【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有实数解，

等价于a＜，x∈[1，4]；

设f（x）＝﹣x，其中x∈[1，4]，

则函数f（x）在x∈[1，4]内单调递减，

当x＝1时，函数f（x）取得最大值为f（1）＝1；

所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．

故答案为：（﹣∞，1）．

12．（2020秋•沭阳县期中）若关于x的不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．

（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；

（2）若对于任意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，求b的取值范围．

【分析】（1）根据不等式的解集求出a的值，代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0求出解集；

（2）不等式化为b≥﹣3x﹣恒成立，求出右边函数的最小值，即可得出b的取值范围．

【解答】解：（1）不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}，

所以﹣3和1是方程（a﹣5）x2﹣4x+6＝0的解，

所以﹣3+1＝，解得a＝3；

所以不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0化为2x2﹣x﹣3＞0，

即（x+1）（2x﹣3）＞0，

解得x＜﹣1或x＞；

不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．

（2）对于任意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，

即3x2+bx+3≥0，所以b≥﹣3x﹣＝﹣3（x+）；

设f（x）＝﹣3（x+），x∈[2，5]，

则f（x）在x∈[2，5]内是单调减函数，所以f（x）≥f（2）＝﹣；

所以b的取值范围是b≥﹣．

13．（2019秋•苏州期末）关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

A．（，]∪（，] B．（，]∪[，） 

C．[，）∪（，] D．[，）∪[，）

【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围．

【解答】解：由题（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，即（ax﹣1）2﹣x2＜0⇔（（a+1）x﹣1）（（a﹣1）x﹣1）＜0恰有两个解，

∴（a+1）（a﹣1）＞0，即a＞1，或a＜﹣1．

当a＞1时，不等式解为＜x＜，

∵∈（0，），恰有两个整数解即：1，2，

∴2＜≤3，2a﹣2＜1≤3a﹣3，解得：≤a＜；

当a＜﹣1时，不等式解为＜x＜，

∵∈（﹣，0），恰有两个整数解即：﹣1，﹣2，

∴﹣3≤＜﹣2，﹣2（a+1）＜1≤﹣3（a+1），解得：﹣＜a≤﹣，

综上所述：≤a＜，或﹣＜a≤﹣．

故选：B．

14．（2020•鼓楼区校级模拟）设关于x的不等式ax2+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为　    　．

【分析】先确定a＜0，再利用0为其中的一个解，a∈Z，求出a的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论．

【解答】解：设y＝ax2+8（a+1）x+7a+16，其图象为抛物线．

对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a＜0．

因为0为其中的一个解可以求得a≥﹣，又a∈Z，所以a＝﹣2，﹣1，

则不等式为﹣2x2﹣8x+2≥0和﹣x2+9≥0，可分别求得﹣﹣2≤x≤﹣2和﹣3≤x≤3，

∵x为整数，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0和x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3

∴全部不等式的整数解的和为﹣10

故答案为：﹣10

15．（2020秋•南开区校级月考）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）．

（1）若不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；

（2）求不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．

【分析】（1）由题意可得1为ax2﹣3x+2＝0的根，求得a，再由二次不等式的解法，即可得到得到b的值；

（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．

【解答】解：（1）将x＝1代入ax2﹣3x+2＝0，则a＝1，

∴不等式为ax2﹣3x+2＞0即（x﹣1）（x﹣2）＞0，

∴不等式解集为{x|x＞2或x＜1}，∴b＝2；

（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，

当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；

当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1＝，x2＝﹣1，

∴①当a＞0时，＞﹣1，∴解集为{x|x＞或x＜﹣1}；

②当﹣3＜a＜0时，＜﹣1，∴解集为{x|＜x＜﹣1}；

③当a＝﹣3时，＝﹣1，∴解集为∅；

④当a＜﹣3时，＞﹣1，∴解集为{x|﹣1＜x＜}．