专题02 空间向量在立体几何中的应用（课时训练）（解析版）-高二上（新教材人教A版）
展开专题02 空间向量在立体几何中的应用
【基础巩固】
1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆 B．直线 C．平面 D．线段
【答案】C
【解析】[M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．]
2．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.
3．如图，在正方体ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
【答案】B
【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）,设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量
则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2,∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量,因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B．
4．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，
∴直线AB与CD平行．故选：A．
5．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A．⊥ B．⊥
C．⊥ D．⊥
【答案】D
【解析】[由题意知PA⊥平面ABCD，所以与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC为PC在平面ABCD内的射影且AC⊥BD，由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD，故C正确．]
6．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A．，－，4 B．，－，4
C．，－2,4 D．4，，－15
【答案】B
【解析】[∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得]
7．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面 ( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
【答案】C
【解析】[因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz．]
8．设向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，若a⊥b，则角α＝( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解析】[∵向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，a⊥b，
∴a·b＝2cos α－1＝0，∴cos α＝，∵0°＜α＜180°，∴角α＝60°．故选B．]
9．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 [以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则＝(－1,1,1)，＝(－1,0,2)，
∴||＝，||＝，·＝3，∴cos〈，〉＝＝＝．]
10．长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是________．
【答案】
【解析】 [以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M，
D(0,0,0)，N，＝，＝，
设向量与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝．
故向量与的夹角的余弦值为．]
11．已知直线l的方向向量为s＝(1,2，x)，平面α的法向量n＝(－2，y,2)，若l⊂α，则xy的最大值为________．
【答案】
【解析】 [由题意可得s⊥n，∴s·n＝－2＋2y＋2x＝0，可得x＋y＝1，取x，y＞0，则1≥2，可得xy≤，当且仅当x＝y＝时取等号．]
12．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＋z＝________．
【答案】1
【解析】 [＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)，
∵a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量，∴a·＝0，a·＝0，
∴－1＋y＝0,1－y－2z＝0，联立解得y＝1，z＝0，∴y＋z＝1．]
【能力提升】
13．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝AP＝2，E为PD的中点．以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．
(1)求的模；
(2)求〈，〉，异面直线AE与CD所成的角；
(3)设n＝(1，p，q)，满足n⊥平面PCD，求n的坐标．
【解析】 (1)由已知可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
∵E为PD的中点，∴E(0,1,1)．∴||＝＝．
(2)＝(0,1,1)，＝(1，－1,0)．∴cos〈，〉＝＝－＝－，
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝，即异面直线AE与CD所成的角为．
(3)∵n⊥平面PCD，∴n⊥PD，n⊥CD，
又n＝(1，p，q)，＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)，
∴n·＝2p－2q＝0，n·＝－1＋p＝0，解得p＝1且q＝1，即n＝(1,1,1)．
14．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
【解析】因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，
所以取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．
所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥．
因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
15．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．
(1)求cos〈，〉的值；
(2)求证：A1B⊥C1M．
【解析】 (1)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴cos〈，〉＝＝＝．
(2)证明：A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，M，＝(－1,1，－2)，＝，
又·＝0，
∴A1B⊥C1M．
16.如图，在圆锥SO中，A，B是上的动点，是的直径，M，N是SB的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值为?
【分析】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，涉及空间向量的数量积及及其坐标表示，平面的法向量、空间向量的夹角等，属于中档题．
根据题意，设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设平面NOA的法向量为，平面的法向量为，根据，求得平面的法向量，结合可得，即可求解．
【解答】解：设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系如下图所示：
则由，可得0，，0，，0，，，0，，
M，N是SB的两个三等分点，则0，，0，，
所以，0，，
设平面NOA的法向量为，
则代入可得，
化简可得，
令，解得，，
所以，
平面OAB的法向量为0，，
由图可知，二面角的平面角为锐二面角，
所以二面角的平面角满足，
，
设平面的法向量为，
，，
则
代入可得，
化简可得，
令，解得，，
所以，
平面的法向量为0，，
由图可知，二面角的平面角为锐二面角，
所以二面角的平面角满足，
，
由二面角的范围可知，
结合余弦函数的图象与性质可知，
即，
化简可得，且，
所以，
所以的最大值是，
