专题10 抛物线及其方程（课时训练）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题10 抛物线及其方程

【基础巩固】

1．点到抛物线准线的距离为2，则的值为______．

【答案】或

【解析】抛物线的标准方程为：，准线方程为：，

，解得或。

2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)

A．9　  B．8

C．7 D．6

【答案】B　

【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.

3．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)

A．y2＝－12x B.y2＝－8x

C．y2＝－6x D．y2＝－4x

【答案】B　

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.

4．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)

A．y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2

C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2

【答案】D　

【解析】抛物线标准方程为x2＝y(a≠0)，当a＞0时，开口向上，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，则抛物线方程为y＝x2；当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为－－3＝6，解得a＝－，则抛物线方程为y＝－x2.

5.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为(　　)

A.  B．1  C.  D．2

【答案】B　

【解析】 如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时，等号成立)，所以dmin＝1，即点M到y轴的最短距离为1.

6.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则＋的最小值为(　　)

A．7  B．8 

C．9  D．10

【答案】C　

【解析】 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.

所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.

7.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（   ）

A．2            B．3           

C．4              D．8

【答案】D

【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．

8.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（   ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，

则有，∴，，，∴.

故选D.

9．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设点、，并设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，

由韦达定理得，，

，，，，，

，可得，，

抛物线的准线与轴交于，

的面积为，解得，则抛物线的方程为，

所以，，故选B。

10.（2020·福建省漳州市高三测试）已知双曲线的离心率为，一条渐近线为l，抛物线的焦点为F，点P为直线l与抛物线异于原点的交点，则（     ）

A．3 B．4 C．6 D．5

【答案】D

【解析】因为双曲线的离心率为，

故一条渐近线方程为：，代入，可得

，故选D。

【能力提升】

11．（2020·四川省眉山市高三二诊）如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到它的准线距离等于（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【解析】将抛物线放入坐标系，如图所示，

∵，，，设抛物线，代入点，

可得，则该抛物线的焦点到它的准线距离等于1，故选B。

12．（2020·福建省莆田市高三质检）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点.若|AB||OF|，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】

连接，连接，交轴于点，

由题意知，，，

由余弦定理可得，

，，

为等边三角形，

中，、关于对称，

且，，

，可得，

故双曲线的离心率，故选D。

13．（2020·东北师大附中高三）已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，，四个点，设，，则__________；的最小值为_______．

【答案】16    74   

【解析】由题意得，准线方程为，

圆的圆心为，半径，

由题意设直线的方程为，联立消元得，

∴，，

∴，

，

由抛物线定义可得，

当且仅当且即，时等号成立。

14.已知点F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若＋＝12，则抛物线的准线方程为__________．

【答案】x＝－2

【解析】 将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|＝6－a，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－2.

15．（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）已知圆经过抛物线的焦点，且与抛物线的准线相切.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设经过点的直线交抛物线于两点，点关于轴的对称点为点，若的面积为6，求直线的方程.

【答案】（1）y2＝4x．（2）2x±3y﹣2＝0．

【解析】

（1）由已知可得：圆心（4，4）到焦点F的距离与到准线l的距离相等，即点（4，4）在抛物线E上，

∴16＝8p，解得p＝2．

∴抛物线E的标准方程为y2＝4x．

（2）由已知可得，直线m斜率存在，否则点C与点A重合．

设直线m的斜率为k（k≠0），则直线AB的方程为y＝k（x﹣1）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0．

∴，x1x2＝1．

由对称性可知，C（x2，﹣y2），∴|AF|＝x1+1，|CF|＝x2+1．

设直线m（AB）的倾斜角为α，则tanα＝k，

∴，

∴．

由已知可得，解得．

∴直线m的方程为，即2x±3y﹣2＝0．

16．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）①求证：四边形是平行四边形.

②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②能，.

【解析】

（1）因为，所以，即抛物线C的方程是.

（2）①证明：由得，.设，，

则直线PA的方程为（ⅰ），

则直线PB的方程为（ⅱ），

由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.

设点，则直线AB的方程为.

由得，则，，

所以，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分.

在①中，令解得，所以，同理得，所以线段CD的中点坐标为，即，又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分.

因此，四边形是平行四边形.

②由①知，四边形是平行四边形.

若四边形是矩形，则，即

，

解得，故当点Q为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形.

17．（2020·云南昆明一中高三（文））过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.

（1）求；

（2）过，的直线交抛物线于，两点，证明：，并求四边形面积的最小值.

【答案】（1）（2）见解析，最小值为32.

【解析】

（1）设，直线，

所以，得，所以，

由，所以，

即，同理，联立得

即.

（2）因为，

所以，

， 即，

，同理，

当且仅当时， 四边形面积的最小值为32。

18．（2020·四川省眉山市高三二诊）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，若点在抛物线上，点在直线上，且是周长为12的等边三角形.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，若，求直线斜率的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因为是周长为12的等边三角形，

所以，

由抛物线的定义可得，设准线与轴交于点，

则，从而，

在中，，即，

所以抛物线的标准方程为.

（2）由（1）知抛物线的标准方程为.

又由题意可知，直线的斜率存在且不为0，

因为，所以点即为，

设直线的方程为，

将代入，消去可得，

则，解得或.

设，，

则，，且，，

所以

，

解得，所以直线的斜率的取值范围为.

【高考真题】

19.（2019·全国高考）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（   ）

A．2 B．3

C．4 D．8

【答案】D

【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．

20．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)

A．5  B．6      C．7  D．8

【答案】D　

【解析】由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)．联立消去y并整理，得x2－5x＋4＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以＝(3,4)，＝(0,2)．所以·＝3×0＋2×4＝8.故选D.

21.（2017·全国高考）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（    ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，

设，因为，所以，

所以，解得：，设，由焦半径公式得：，

所以，，所以，

所以点到直线的距离为.

22．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

【答案】2

【解析】解法一：由题意可知C的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k的直线方程为x＝＋1，

设A，B，将直线方程与抛物线方程联立得

整理得y2－y－4＝0，从而得y1＋y2＝，y1·y2＝－4.

∵M(－1,1)，∠AMB＝90°，∴·＝0，即·＋(y1－1)(y2－1)＝0，

即k2－4k＋4＝0，解得k＝2.

23．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.

【答案】6

【解析】如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M1、N1.设抛物线的准线与x轴的交点为F1，则|NN1|＝|OF1|＝2，|FF1|＝4.因为M为FN的中点，

所以|MM1|＝3，由抛物线的定义知|FM|＝|MM1|＝3，从而|FN|＝2|FM|＝6.

24.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)

A．2  B．4 

C．6  D．8

【答案】B

【解析】设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.

因为|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，所以不妨设A，D.

因为点A，D在圆x2＋y2＝r2上，所以所以＋8＝＋5，所以p＝4.所以C的焦点到准线的距离为4.