专题01 空间向量及其运算（课时训练）（解析版）-高二上（新教材人教A版）
展开专题01 空间向量及其运算课时训练
【基础巩固】
1.下列说法中正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
【答案】B
【解析】[|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．
2．空间四边形 OABC中，=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的加法、减法法则，得
．故选A.
3.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，N是A1B的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．(a＋b－c) B．(a＋b＋c) C．a＋b＋c D．a＋(b＋c)
【答案】B
【解析】[若AB中点为D，＝＋＝(a＋b＋c)，故选B．
]
4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】 [由题意知，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．]
5.如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若则
A． B．1 C． D．2
【分析】推导出，由此能求出的值．
【解答】解：正方体中，点为上底面的中心，
，
，．故选：．
6．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，根据空间基底的概念，可得正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ABCD.
7．在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( )
A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）
C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.
8．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
【答案】
【解析】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点， 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为，所以,所以.
9.如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
①试写出与是相等向量的所有向量；
②试写出的相反向量；
③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
【解析】 ①与向量是相等向量的(除它自身之外)有，及，共3个．
②向量的相反向量为，，，．
③||＝＝＝＝3．
10．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量．
【解析】(1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，所以(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
所以所以
(2)向量(－3，－4,5)的模为＝5，
所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±·(－3，－4,5)＝±(－3，－4,5)，
即和．
【能力提升】
11．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.
【答案】1; .
【解析】
取的中点，
，又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为
，
12．已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________
【答案】
【解析】设.则,,.
由为底面中心,
又因为四点共面,所以且.
所以，即
即.
13.已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；
(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．
【解析】(1)∵∥，∴设＝λ，
又＝(3，－2，－1)，∴＝(3λ，－2λ，－λ)，
又||＝ ＝2，得λ＝±2，
∴＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．又A(0,2,3)，
设P(x，y，z)，
∴或得或
∴P(6，－2,1)或(－6,6,5)．
(2)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
cos〈，〉＝＝＝，∴∠BAC＝60°.
∴以，为邻边的平行四边行的面积S＝||||sin 60°＝14×＝7.
14．在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
【解析】 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M．
又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1,2)，＝，
所以||＝2，||＝，·＝2m－1．
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°．
又cos〈，〉＝＝．
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°．
15．已知长方体中, ，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1），，；
（2）线段的长度分别为；（3）不垂直，理由见解析
【解析】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，
由得：，
因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；
（2）由两点距离公式得：，
；
（3）直线与直线不垂直，
理由：由（1）中各点坐标得：
，，
与不垂直，所以直线与直线不垂直.
