专题09 双曲线及其方程（课时训练）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题09 双曲线及其方程
【基础巩固】
1、以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. x2－＝1 D. －＝1
【答案】 A
【解析】 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
2、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
【答案】B
【解析】双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，在椭圆中：a2＝12，b2＝3，∴c2＝9，c＝3，故双曲线C的焦点坐标为(±3，0)，∴双曲线中的方程组：＝，c＝3，c2＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝5，则双曲线C的方程为－＝1.故选B.
3、设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3＝4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
【答案】C
【解析】双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.
4、椭圆＋＝1(m＞n＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的公共焦点为F1，F2，若P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－a B．m2－a2
C. D.－
【答案】B　
【解析】由题意，不妨设P在双曲线的右支上，F1为左焦点，则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，所以|PF1|·|PF2|＝m2－a2.
5、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．
【答案】－＝1
【解析】由离心率为，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，
由题意知kPF＝＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
6、设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【解析】由双曲线的标准方程－＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线l过点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
7、(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．
(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．
【答案】（1） －＝1 （2）－＝1
【解析】　(1)由题意得a＝b，＝1，∴c＝4，∴a＝b＝2，∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)(方法1)由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，由题意，得
解得a2＝，b2＝4.∴双曲线的方程为－＝1.
(方法2)设所求双曲线方程－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，∴双曲线方程为－＝1.
8、过双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】将x＝±c代入双曲线的方程得y2＝⇒y＝±，则2c＝，即有ac＝b2＝c2－a2，由e＝，可得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．
【能力提升】
9、（辽宁葫芦岛高级中学2019届模拟）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
【解析】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，e＝＝，所以b＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
10、（辽宁鞍山一中2019届模拟）一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且·＝－3，＝3，求直线和双曲线的方程．
【解析】因为e＝，所以b2＝2a2，所以双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2.设直线l的方程为y＝x＋m，由得x2－2mx－m2－2a2＝0，所以Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，所以直线l一定与双曲线相交．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.因为＝3，xR＝＝0，所以x1＝－3x2，所以x2＝－m，－3x＝－m2－2a2，消去x2，得m2＝a2.又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3，所以m＝±1，a2＝1，b2＝2.直线l的方程为y＝x±1，双曲线的方程为x2－＝1.
11、（河北衡水中学2019届模拟）若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
【解析】(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于A，B两点，所以
即即
所以1＜k＜，即k的取值范围是(1，)．
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝6，整理得28k4－55k2＋25＝0，所以k2＝或k2＝，又1＜k＜，所以k＝，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3，y3)，由＝m(＋)得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)，因为点C是双曲线上一点，所以80m2－64m2＝1，得m＝±，故k＝，m＝±.
12、一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且·＝－3，＝3，求直线和双曲线的方程．
【解析】因为e＝，所以b2＝2a2，所以双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2.设直线l的方程为y＝x＋m，由得x2－2mx－m2－2a2＝0，所以Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，所以直线l一定与双曲线相交．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.因为＝3，xR＝＝0，所以x1＝－3x2，所以x2＝－m，－3x＝－m2－2a2，消去x2，得m2＝a2.又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3，所以m＝±1，a2＝1，b2＝2.直线l的方程为y＝x±1，双曲线的方程为x2－＝1.
13、若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
【解析】(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于A，B两点，所以
即即
所以1＜k＜，即k的取值范围是(1，)．
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝6，整理得28k4－55k2＋25＝0，所以k2＝或k2＝，又1＜k＜，所以k＝，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3，y3)，由＝m(＋)得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)，因为点C是双曲线上一点，所以80m2－64m2＝1，得m＝±，故k＝，m＝±.
14．（山西省长治一中2019届模拟）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足(－)＝－1，所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e＞1，所以e＝，所以双曲线的离心率为.
15．（河北省邯郸一中2019届模拟）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.
所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.所以m＜－2.所以m的取值范围为(－∞，－2)．
【高考真题】
16、(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，B，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
17.（2019全国III理10）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线
上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨
设点在第一象限，可得，，所以的面积为：
．故选A．
18.（2019年全国II理11）设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为(　　)
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】解法一：由题意，把代入，得，
再由，得，即，
所以，解得.故选A．
解法二：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，
所以，代入得，
所以，解得.故选A．

解法三：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A．
19．（2019浙江2）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】 根据渐进线方程为的双曲线，可得，所以，则该双曲线的离心率为，故选C．
20.（2019天津理5）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 因为抛物线的焦点为，准线为，所以，准线的方程为.
因为与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），所以，，所以，即，
所以，所以双曲线的离心率为．故选D．
21．（2017新课标Ⅱ）若双曲线：的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则的离心率为(　　)
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为
，圆心到弦的距离也为，
所以，又，所以得，所以离心率，选A． 
22．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线：的一条渐近线方程为
,且与椭圆有公共焦点，则的方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，，又，解得，，
则的方程为．选B．
23．（2014江西）如图，已知双曲线：()的右焦点，点分别在
的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）．
（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．

【解析】（1）设，因为，所以
直线OB方程为，直线BF的方程为，解得
又直线OA的方程为，则
又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为
（2）由（1）知，则直线的方程为，即
因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点
直线与直线的交点为
则
因为是C上一点，则，代入上式得
，所求定值为