专题11 直线与圆锥曲线的位置关系（重难点突破）原卷版-高二上（新教材人教A版）
展开专题11 直线与圆锥曲线的位置关系
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
1.直线与椭圆方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离
第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
2.直线与双曲线方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离，
3.直线与抛物线方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：过焦点的直线与抛物线相交
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：根与系数关系表达式
，
第三步：一些小结论
点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为
结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则
结论3： 结论4：过焦点 结论5：
三、重难点题型突破
重难点题型突破1 直线与抛物线
例1．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交
点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
例2．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
重难点题型突破2 直线与椭圆
例3．已知直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、 两点。为坐标原点，若，则点到直线的距离为
A． B．2 C． D．
例4．已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
例5．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
重难点题型突破3 直线与双曲线
例6．（2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考）已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为_____．
例7．（直线与双曲线）设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．
（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；
（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．
四、课堂定时训练
1．已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是____________.
2．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为
A． B．
C． D．
3．已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由
4．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.
