专题07 曲线与方程（重难点突破）原卷版-高二上（新教材人教A版）

专题07 曲线与方程

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一  曲线与方程

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．

知识点二 求轨迹方程的方法

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 

(1)直接法  直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

(2)定义法  若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求； 

(3)相关点法  根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程； 

(4)参数法  若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程； 

知识点三   求曲线方程的基本步骤

三、重难点题型突破

重难点题型突破01  直接法 

直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 ，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例1、（黑龙江哈尔滨师大附中2019届模拟）已知定点A，B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹．

【变式训练1】已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

重难点题型突破02 相关点代入法 

据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

例2、（浙江杭州十四中2019届模拟）设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．

【变式训练1】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程  

重难点题型突破03 参数法 

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.

例3、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

【变式训练1】如图，抛物线：和：（）．点在抛物线上，过作的切线，切点分别为、（为原点时，、重合于）．当时，切线的斜率为．

（1）求的值；

（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（、重合于时，中点为）．

四、课堂定时训练（45分钟）

1．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________________．