专题08 椭圆及其方程（重难点突破）原卷版-高二上（新教材人教A版）
展开专题08 椭圆及其方程
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 | ＋＝1(a＞b＞0) | ＋＝1(a＞b＞0) | |
图形 | |||
性质
| 范围 | －a≤x≤a， －b≤y≤b | －b≤x≤b， －a≤y≤a |
对称性 | 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) | ||
顶点 | A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) | A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) | |
轴 | 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b | ||
焦距 | ＝2c | ||
离心率 | e＝， e∈(0,1) | ||
a，b，c 的关系 | c2＝a2－b2 | ||
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
三、重难点题型突破
重难点01 椭圆的定义及其应用
例1、（ 河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【变式训练1】对于方程，
（1）若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________________；
（2）若该方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________________；
（3）若该方程表示椭圆，则实数m的取值范围为________________．
重难点02 椭圆的标准方程
例2．（1）（辽宁省抚顺一中2019届期中）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，且它的一个顶点为(0,2)，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
（2）．（黑龙江省佳木斯一中2019届期末）设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________．
【变式训练1】．（山东省淄博一中2019届模拟）中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【变式训练2】．（四川省眉山一中2019届模拟）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤，求k的取值范围．
重难点03 椭圆的几何性质
例3．(1)（湖南省株洲二中2019届期末）已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝( )
A．4 B．8 C．16 D．18
(2)．（湖南省张家界一中2019届期末）已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
【变式训练1】．（ 江苏省苏州一中2019届期中）已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21 C．－或21 D.或－21
【变式训练2】．（山西省朔州一中2019届期中）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.－1
重难点04 直线与椭圆的位置关系
例4．（ 山东省菏泽一中2019届模拟）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点分别为A，B.左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（ ）
A. B.
C. D.
例5．（安徽省马鞍山二中2019届期中）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率．
【变式训练1】．（宁夏石嘴山一中2019届模拟）已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
四、课堂定时训练（45分钟）
1．（河南省濮阳一中2019届期末）设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为（ ）
A．3 B．3或
C. D．6或3
2．（广东省佛山一中2019届模拟）焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3．（广东省梅州一中2019届模拟）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 （ ）
A．2 B.3 C．6 D．8
4．（山东省威海一中2019届模拟）设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．（浙江省衢州一中2019届期中）已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
6．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则（ ）
A． B． C． D．3
8．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
10．（椭圆与圆结合）如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．
