第一章集合与常用逻辑用语（基础练）-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

第一章集合与常用逻辑用语（基础练）
-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

1．如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是（ ）

A．(∁UB)∪A B．A∩(∁UB)
C．(∁UA)∩B D．A∩B
2．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
3．“00的解集是实数集”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．设U是全集，是U的三个子集，则阴影部分所示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
7．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
8．使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
11．“”是“为锐角三角形”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．设为实数，，.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．若集合为空集，则的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．且
14．已知全集,集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
15．设，则“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．


17．已知条件p：2k－1≤x≤－3k，条件q：－1 18．已知集合，，则________
19．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．.
20．已知集合.若“”是“不等式成立”的充分条件，则实数a的最大值为______.
21．若f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，令全集为R，则＝________.
22．已知，，若是的必要条件，则范围是______.
23．不等式有实数解的充要条件是______．
24．若，，且，则实数的值为________．
25．已知集合，，则______.
26．已知集合，.若，则实数a的取值范围为________.
27．设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）
（1）若a＝2，且为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.




28．设集合，或．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．



29．已知p：{x|1≤x≤5}，q：{x|m－1≤x≤m＋1}，若非p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．



30．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围．





31．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．




32．已知集合，，，全集为实数集R.
（1）求，；
（2）如果，求实数a的取值范围.





33．已知集合，，
（1）若，求.
（2）若，求实数a的取值范围.




34．已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围.



35．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．





36．集合U＝{x|x≤10，且x∈N*}，AÜU，BÜU，且A∩B＝{4，5}，(∁UB)∩A＝{1，2，3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{6，7，8}，求集合A，B.



















第一章集合与常用逻辑用语（基础练）
-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

1．如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是（ ）

A．(∁UB)∪A B．A∩(∁UB)
C．(∁UA)∩B D．A∩B
【答案】B
【分析】根据全集、补集和子集的定义和Venn图，即可得到答案
【解答】阴影中的任意元素x满足x∈A但x∉B，故x∈A∩(∁UB)．
故选：B.
2．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
【答案】C
【分析】先找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，可得选项.
【解答】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，即∀x∈[1，2]，a≥x2恒成立，只需a≥(x2)max＝4，故命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，结合选项可知，原命题为真的一个充分不必要条件为a≥5.
故选：C．
3．“00的解集是实数集”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集”求得的取值范围，再通过集合之间的包含关系判断充分性和必要性即可.
【解答】因为“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集”，
故当时，，显然满足题意；
当时，要满足题意，只需且，
即，解得.
综上所述：要满足题意，.
又集合是的真子集，
故“00的解集是实数集”的充分不必要条件.
故选：.
【点评】本题考查利用集合之间的包含关系判断充分性和必要性，涉及一元二次不等式在上恒成立求参数范围的问题，属综合基础题.
4．已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围；
【解答】解：∵，，
∴
∴．
故选：D．
5．命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．
【解答】解：命题，，为全称量词命题，其否定为特称量词命题，故其否定为，
故选：B
【点评】本题考查了全称量词命题的否定，属于基础题．
6．设U是全集，是U的三个子集，则阴影部分所示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合的元素一定不在集合S中，因此在，且在集合M与集合P的交集中．
【解答】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x∉S，∴x∈，且x∈M∩P，因此x∈（）∩（M∩P）．
故选：B．
【点评】本题考查了集合与韦恩图的对应关系，分析元素的特点是关键，属于基础题．
7．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.
【解答】根据图像可知，阴影部分表示，，所以.
故选：A
【点评】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.
8．使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】先解出不等式的解集，利用集合关系可选出其必要不充分条件.
【解答】解不等式，可得或，该解集为选项中集合的真子集，
对于A，是既不充分也不必要条件；
对于B，或是或的真子集，故B是其必要不充分条件；
对于C，或是或的真子集，故C是其充分不必要条件；
对于D，或，是其充要条件.
故选：B.
【点评】本题考查判断必要不充分条件，关键在于准确求解不等式，根据集合的包含关系判定必要不充分条件，属于基础题.
9．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】一元二次函数的图像的顶点在原点的充要条件为再利用定义法解决.
【解答】若一元二次函数的图像的顶点在原点，则，且，所以顶点在
原点的充要条件是故A是充要条件，B、C既不充分也不必要，D是必要条件，非充分条件.
故选：D.
【点评】本题考查充分必要条件的应用，解决此类问题，通常有定义法、等价法、集合间的包含关系来判断，本题是一道基础题.
10．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.
【解答】因为，所以，
所以，所以
又因为，所以，
故选：D.
【点评】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.
11．“”是“为锐角三角形”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】以为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零．
【解答】解：以为起点的两个向量数量积大于零，
夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，
在中，“”不能推出“为锐角三角形”，
为锐角三角形，
，
前者是后者的必要不充分条件，
故选：．
【点评】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
12．设为实数，，.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，利用数轴求解.
【解答】已知，，
因为，
所以
故选：C
【点评】本题主要考查集合交集运算的应用，属于基础题.
13．若集合为空集，则的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．且
【答案】B
【分析】根据题意，可知无解，则分类讨论和两种情况，当时，不符合题意；当时，则，即可求出的取值范围.
【解答】解：由于集合为空集，
即无解，
当时，化为，不是空集；
当时，可得，解得：.
故选：B.
【点评】本题考查空集的定义以及一元二次不等式的应用，从而求参数的取值范围，考查分类讨论思想.
14．已知全集,集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
【答案】A
【分析】由图可知，阴影部分表示集合，根据题意，求出集合,利用集合的交运算求出集合，再利用补集的定义求出集合即可判断.
【解答】由题意知，集合0，1，2，3，，
因为集合，
由集合的交运算可得，2，3，，
故阴影部分所表示集合为，
其中的元素共有三个.
故选：A
【点评】本题考查韦恩图和集合的交补运算；考查识图能力和运算求解能力；属于基础题.
15．设，则“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先判断当成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有成立，利用充要条件的定义得到结论．
【解答】解：当时，两条直线的方程分别是和，此时两条直线平行成立
反之，当两条直线平行时，有但即或，
时，两条直线都为，重合，舍去

所以“”是“直线和直线平行”的充要条件．
故选：．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
16．已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的补集运算和并集运算可得选项.
【解答】，，，
则，
故选：D.
【点评】本题考查集合间的补集运算、并集运算，属于基础题.


17．已知条件p：2k－1≤x≤－3k，条件q：－1 【答案】{k|k≤－1}
【分析】由p是q的必要条件，可得两个命题所对应的集合的包含关系，列出不等式可得实数k的取值范围．
【解答】因为p是q的必要条件，所以{x|－1 应满足：，解得k≤－1，
故答案为：{k|k≤－1}
18．已知集合，，则________
【答案】
【分析】解出集合B，根据并集运算法则即可得解.
【解答】由题解得
所以，，所以.
故答案为：
【点评】此题考查集合的并集运算，关键在于熟练掌握绝对值不等式的解法.
19．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．.
【答案】（1，+∞）．
【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A ÜB，列不等式组运算得解
【解答】由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，
得：A ÜB，
即，即m＞1，
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题．
20．已知集合.若“”是“不等式成立”的充分条件，则实数a的最大值为______.
【答案】3；
【分析】首先求出集合，再根据充分关系，得到不等式组，解得参数的取值范围，即可得解；
【解答】解：因为，所以，
又因为“”是“不等式成立”的充分条件，
所以，解得
故的最大值为
故答案为：
【点评】本题考查根据充分条件求参数的取值范围，属于基础题.
21．若f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，令全集为R，则＝________.
【答案】{x|x<2}
【分析】由题意结合二次根式的性质可得、，再由集合的交集、补集运算即可得解.
【解答】由题意，，
所以，
所以.
故答案为：.
【点评】本题考查了函数定义域的求解及集合交集、补集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
22．已知，，若是的必要条件，则范围是______.
【答案】
【分析】求出 ，是的必要条件得到 ，列不等式可解.
【解答】由，
又∵是的必要条件，∴，
∴，解得，即的取值范围是，
故答案为 .
【点评】本题考查必要条件，把是的必要条件转化得到是解题关键，属于基础题.
23．不等式有实数解的充要条件是______．
【答案】
【分析】不等式有实数解，等价于，所以只要求出的最小值即可
【解答】解：因为，当且仅当时等号成立，
所以不等式有实数解的充要条件是．
故答案为：．
【点评】此题考查了充要条件，考查了绝对值不等式，属于基础题.
24．若，，且，则实数的值为________．
【答案】0或2或3
【分析】先求得，由于，所以先从空集考虑，当时，，此时.为非空集合时，由于一元一次方程只有一个根，所以分成和两种情况讨论的取值.
【解答】
①当时，，此时，
②当时，，此时，即
③当时，，此时，即
综上：的值为0或或
故答案为：0或2或3
【点评】本题主要考查集合子集的概念，考查空集是任何集合的子集的概念.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．
25．已知集合，，则______.
【答案】
【分析】利用集合的交运算即可求解.
【解答】由集合，，
所以.
故答案为：
【点评】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.
26．已知集合，.若，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】解出集合B根据包含关系，讨论端点的大小关系即可得解.
【解答】由已知可得.因为，
所以，即.
故答案为：
【点评】此题考查根据集合的包含关系求参数的范围，关键在于弄清哪个集合是子集，建立不等关系，注意考虑端点能否取等.

27．设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）
（1）若a＝2，且为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）{x|2＜x＜4}；（2）.
【分析】（1）分别求出命题和为真时对应的取值范围，即可求出；
（2）由题可知Ü，列出不等式组即可求解.
【解答】解：（1）当a＝2时，命题q：2＜x＜4，
∵命题p：x≤2或x＞6，，
又为真命题，∴x满足，
∴2＜x＜4，
∴实数x的取值范围{x|2＜x＜4}；
（2）由题意得：命题q：a＜x＜2a；
∵q是的充分不必要条件，Ü，
，解得，
∴实数a的取值范围.
【点评】结论【点评】本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
28．设集合，或．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）0≤a≤1；（2）或.
【分析】（1）根据交集结果列不等式组，解得结果；
（2）根据并集结果得A⊆B，再根据集合包含关系列不等式，解得结果.
【解答】（1）因为A∩B＝，
所以，解得0≤a≤1，
所以a的取值范围是{a|0≤a≤1}.
（2）因为A∪B＝B，
所以A⊆B，
所以a＋1或，
解得或，
所以a的取值范围是或.
29．已知p：{x|1≤x≤5}，q：{x|m－1≤x≤m＋1}，若非p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解.
【解答】设集合,集合
∵非p是非q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，
所以Ü
即或，解得：2≤m≤4.
故答案为;
【点评】结论【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
30．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围．
【答案】（1） －1或－3； （2） a≤－3 ；（3） a<－3或－3－1＋.
【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可.
（2）根据题意可得，讨论或，利用判断式求出实数a的取值范围即可.
（3）根据题意可得，讨论或，解方程组即可求解.
【解答】由题意知A＝{1，2}．
（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上可得，a的值为－1或－3.
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A.
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，B＝∅，满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．
综上可知，a的取值范围是a≤－3.
（3）∵A∩(∁UB)＝A，∴A⊆∁UB，∴A∩B＝∅.
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件．
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．
③当Δ>0，即a>－3时，只需1∉B且2∉B即可．
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；
将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1±，∴a≠－1，a≠－3且a≠－1±，
综上，a的取值范围是a<－3或－3－1＋.
31．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
【答案】充要条件，理由见解析.
【分析】根据充要条件的定义和方程根的定义，分别判断两个条件的充分性和必要性，进而综合讨论结果，可得答案.
【解答】解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，

若“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
【点评】此题考查充要条件的定义与判断，属于基础题.
32．已知集合，，，全集为实数集R.
（1）求，；
（2）如果，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；或；（2）
【分析】（1）判断集合的关系，求得，先求，再求；
（2）由已知条件，并结合数轴，得到实数的取值范围.
【解答】（1）Ü，，
或，或；
（2），

【点评】本题考查集合的运算，以及根据集合的关系求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.
33．已知集合，，
（1）若，求.
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将代入求出集合，再根据交集的运算即可求出；
（2）根据集合是否为空集分类讨论，再根据，即可解出．
【解答】（1）当时，，而，
所以．
（2）若，则，解得，此时，符合题意；
若，则，要，则或，解得或．
综上，实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查集合的交集运算，以及根据交集的结果求参数范围，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题．
34．已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）代入a，根据交集定义直接运算即可；
（2）分和两种情况讨论可求出.
【解答】（1）当时，易得，
或，
.
（2）若，即时，，满足，
若，即时，
要使，只需或，
解得或，
综上所述a的取值范围为或.
【点评】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题.
35．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）直接根据交集、并集、补集的概念即可得结果；
（2）分为，和三种情形，求出，结合集合的包含关系可得结果.
【解答】（1）∵，；
∴，或，.
（2）当时，，满足题意；
当时，，
由，得；
当时，，不合题意，
综上可得：实数的取值范围.
【点评】本题主要考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义，属于基础题.
36．集合U＝{x|x≤10，且x∈N*}，AÜU，BÜU，且A∩B＝{4，5}，(∁UB)∩A＝{1，2，3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{6，7，8}，求集合A，B.
【答案】
【分析】根据已知条件利用Venn图进行求解.
【解答】法一：作出Venn图如图所示，

则；
法二：，，，，，①
②，，，，，，，
③，6,7,8都不属于A，也不属于B，
，且由②③知9,10均不属于，
，④
由④①可知.
【点评】本题考查集合的基本运算、利用Venn图解决集合运算问题，属于基础题.