高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质优质教学设计

这是一份高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质优质教学设计，共20页。

课时5.4.4 三角函数的图象与性质（综合拔高练）








考点1 同角三角函数的基本关系与诱导公式


1.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则sin β= .





2.sin 750°= .





考点2 三角函数的图象及应用


3.函数f(x)=sinx+xcsx+x2在[-π,π]的图象大致为 ( )








4.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是 ( )








5.函数y=sin2x1-csx的部分图象大致为 ( )








考点3 三角函数的性质


6.下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是 ( )


A. f(x)=|cs 2x|


B. f(x)=|sin 2x|


C. f(x)=cs|x|


D. f(x)=sin|x|





7.关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:


① f(x)是偶函数;


② f(x)在区间π2,π单调递增;


③ f(x)在[-π,π]有4个零点;


④ f(x)的最大值为2.


其中所有正确结论的编号是 ( )


A.①②④ B.②④


C.①④ D.①③





8.设函数f(x)=sinωx+π5(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:


①f(x)在(0,2π)有且仅有3个最大值点;


②f(x)在(0,2π)有且仅有2个最小值点;


③f(x)在0,π10单调递增;


④ω的取值范围是125,2910.


其中所有正确结论的编号是 ( )


A.①④


B.②③


C.①②③


D.①③④





9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为 ( )


A.11 B.9


C.7 D.5





10.函数f(x)=cs3x+π6在[0,π]的零点个数为 .





应用实践


1.已知θ∈π2,π,则1+2sin(π+θ)sinπ2-θ= ( )


A.±(sin θ-cs θ)B.cs θ-sin θ


C.sin θ-cs θ D.sin θ+cs θ





2.已知点Psin3π4,cs3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ( )


A.5π4B.3π4C.7π4D.π4





3.已知tan x=-12,则sin2x+3sin xcs x-1的值为 ( )


A.13 B.2 C.-2或2 D.-2





4.设函数f(x)=csx+π3,则下列结论错误的是 ( )


A.f(x)的一个周期为-2π


B.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称


C.f(x+π)的一个零点为x=π6


D.f(x)在π2,π上单调递减





5.已知函数f(x)=sinωx-π3(ω>0),x∈[0,π]的值域为-32,1,则ω的取值范围是 ( )


A.13,53B.56,1


C.56,53D.(0,+∞)





6.(多选)对于函数f(x)=sinx,sinx≤csx,csx,sinx>csx,下列四个结论中正确的是 ( )


A.f(x)是以π为周期的函数


B.当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1


C. f(x)的图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z)


D.当且仅当2kπ




7.设函数f(x)=csωx-π6(ω>0),若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 .





8.若角α的顶点在坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边所在直线过点(3,-4),则sin3π2+α= .





9.若函数f(x)=csωx+π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6,0,则ω的最小值为 .





10.已知函数f(x)=csx-π6,则下列结论中正确的是 .(请把正确结论的序号填到横线处)


①f(x)的一个周期是-4π;


②f(x)的一个对称中心是-π3,0;


③f(x)的一条对称轴方程是x=-5π6;


④f(x)在-π6,5π6上是减函数.





11.已知θ∈(0,π),且sin θ+cs θ=13.


(1)求sin θcs θ的值;


(2)求sin θ-cs θ的值;


(3)求tan θ的值.





























12.已知函数f(x)=asin2ωx+π6+a2+b(x∈R,a>0,ω>0)的最小正周期为π,其最大值是74,最小值是34.


(1)求ω,a,b的值;


(2)指出f(x)的单调递增区间.



































13.已知函数f(x)=sin2x+π6.


(1)求f(x)的单调递增区间;


(2)若函数g(x)=f(x)-k在区间-π6,13π12上有三个零点,求实数k的取值范围.


























14.已知函数f(x)=2sinπ2x+π4+1.


(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递减区间;


(2)若x1,x2是函数f(x)的零点,试用列举法表示cs(x1+x2)π2的取值组成的集合.深度解析






































15.已知函数f(x)=m-22x+1是定义在R上的奇函数.


(1)求实数m的值;


(2)如果对任意x∈R,不等式f(2a+cs2x)+f(4sin x-2a-1-7)<0恒成立,求实数a的取值范围.











答案全解全析


1.答案 13


解析 ∵角α与角β的终边关于y轴对称,∴β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin α=13,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=13(k∈Z).


2.答案 12


解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12.


3.D 因为x∈[-π,π],所以由f(-x)=sin(-x)+(-x)cs(-x)+(-x)2=-sinx+xcsx+x2=-f(x),可知函数f(x)为奇函数,所以选项A错误.又由当x=π时,f(π)=sin π+πcs π+π2=ππ2-1,可知0

4.D 令y=f(x)=2|x|sin 2x,则f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-2|x|sin 2x=-f(x),又函数的定义域为R,所以f(x)为奇函数①;当x∈(0,π)时,2|x|>0,sin 2x可正可负,所以f(x)可正可负②.由①②可知,选D.


5.C 由题意得,函数的定义域关于原点对称,函数y=sin2x1-csx为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;当x=π时,y=0,故排除D;当x=1时,y=sin21-cs1>0,故排除A.故选C.


6.A 对于选项A,作出f(x)=|cs 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在π4,π2上单调递增,且最小正周期T=π2,故A正确.


对于选项B,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在π4,π2上单调递减,且最小正周期T=π2,故B不正确.


对于选项C,∵f(x)=cs|x|=cs x,∴最小正周期T=2π,故C不正确.


对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.





图1





图2





图3


7.C f(x)的定义域为(-∞,+∞), f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,①正确;


当x∈π2,π时, f(x)=sin x+sin x=2sin x,其在该区间上单调递减,②不正确;


当x∈[0,π]时,sin x≥0, f(x)=2sin x有两个零点,当x∈[-π,0)时, f(x)=-2sin x仅有一个零点,所以f(x)在[-π,π]上有3个零点,故③不正确;


当x≥0时, f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在R上的最大值为2,④正确.


综上,①④正确,②③不正确.故选C.


8.D 由x∈[0,2π],得ωx+π5∈π5,2ωπ+π5.设2ωπ+π5=t,由题意及函数y=sin x的图象知,t∈[5π,6π),则ω∈125,2910,故f(x)在(0,2π)上有且仅有3个最大值点,而f(x)在(0,2π)上可能有2个最小值点,也可能有3个最小值点,故①正确,②不正确,④正确.当x∈0,π10时,ωx+π5∈π5,ωπ10+π5,因为ω∈125,2910,所以ωπ10+π5<29π100+π5=49π100<π2,故f (x)在0,π10上单调递增,③正确.故选D.


9.B 依题意,有ω·-π4+φ=mπ,ω·π4+φ=nπ+π2(m,n∈Z),


∴ω=2(n-m)+1,φ=2(m+n)+14π.


又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1.


当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x)在π18,5π36上单调,得πω≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin9x+π4符合题意.


当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin11x-π4,此时,当x∈π18,536π时,11x-π4∈1336π,2318π, f(x)不单调,不合题意.故选B.


10.答案 3


解析 令f(x)=cs3x+π6=0,得3x+π6=kπ+π2(k∈Z),解得x=k3π+π9(k∈Z),由0≤k3π+π9≤π得k可取0,1,2,


∴f(x)=cs3x+π6在[0,π]上有3个零点.





应用实践


1.C 1+2sin(π+θ)sinπ2-θ


=1-2sinθcsθ


=sin2θ+cs2θ-2sinθcsθ


=(sinθ-csθ)2=|sin θ-cs θ|,


又π2≤θ≤π,


∴sin θ>cs θ,


即sin θ-cs θ>0.


因此,原式=sin θ-cs θ,故选C.


2.C ∵sin3π4>0,cs3π4<0,∴点P在第四象限,


又tan θ=cs3π4sin3π4=-2222=-1,θ∈[0,2π),


∴θ=7π4.故选C.


3.D sin2x+3sin xcs x-1


=sin2x+3sinxcsxsin2x+cs2x-1


=tan2x+3tanxtan2x+1-1=-122+3×-12-122+1-1=-2.


4.D 由题意可知函数的周期为2kπ,k∈Z且k≠0,A正确;将x=8π3代入f(x)=csx+π3得f8π3=-1,所以B正确;f7π6=cs3π2=0,C正确;函数f(x)=csx+π3的图象可由y=cs x的图象向左平移π3个单位得到,故f(x)的图象如图所示,则f(x)在π2,π上先单调递减后单调递增,故D选项错误.故选D.





5.C ∵0≤x≤π,∴-π3≤ωx-π3≤ωπ-π3,又f(x)∈-32,1,∴π2≤ωπ-π3≤4π3,解得56≤ω≤53.故选C.


6.CD 作出函数f(x)的部分图象,如图中实线部分所示,由图象知f(x)的最小正周期为2π,A错误;当且仅当x=2kπ+π,或x=2kπ-π2(k∈Z)时, f(x)取得最小值-1,B错误; f(x)图象的对称轴方程为x=π4+kπ(k∈Z),C正确;由0




易错警示 解决此类分段函数问题的常用方法是图象法,解题时要避免因画错图象导致错误,更要避免因看错图象特别是周期导致解题错误.


7.答案 23


解析 ∵f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立,∴fπ4为f(x)的最大值,∴π4ω-π6=2kπ(k∈Z),


∴ω=8k+23(k∈Z),∵ω>0,∴当k=0时,ω取最小值23.


8.答案 -35


解析 r=32+(-4)2=5,


∴sin3π2+α=sinπ+π2+α


=-sinπ2+α=-cs α=-35,故填-35.


9.答案 2


解析 由题意得ω×π6+π6=π2+kπ,则ω=6k+2(k∈Z),因为ω∈N*,所以ω的最小值是2.


10.答案 ①②③


解析 ①②③正确,易于判断.


把y=cs x的图象向右平移π6个单位,就得到f(x)=csx-π6的图象,


故f(x)=csx-π6在-π6,π6上是单调递增函数,在π6,5π6上是单调递减函数,故④错误.


11.解析 (1)因为sin θ+cs θ=13,


所以(sin θ+cs θ)2=19,


所以1+2sin θcs θ=19,


所以sin θcs θ=-49.


(2)因为θ∈(0,π),sin θcs θ=-49,所以sin θ>0,cs θ<0,所以sin θ-cs θ>0.


所以(sin θ-cs θ)2=1-2sin θcs θ=1+89=179.所以sin θ-cs θ=173.


(3)因为sin θ+cs θ=13,


sin θ-cs θ=173,


所以sin θ=16+176,


cs θ=16-176,


所以tan θ=-9+178.


12.解析 (1)由函数的最小正周期为π,得2π2ω=π,∴ω=1.∵f(x)的最大值是74,最小值是34,且a>0,


∴a+a2+b=74,-a+a2+b=34,解得a=12,b=1.


(2)由(1)知, f(x)=12sin2x+π6+54,


当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),


即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时, f(x)单调递增,


∴f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).


13.解析 (1)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).


所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).


(2)令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).


当x∈-π6,13π12时, f(x)在区间-π6,π6和2π3,13π12上单调递增,


在区间π6,2π3上单调递减.


f-π6=-12, fπ6=1, f2π3=-1, f13π12=32,


g(x)=f(x)-k在区间-π6,13π12上有三个零点等价于函数y=f(x)与y=k的图象在区间-π6,13π12上有三个交点,结合草图可知-12≤k≤32,


所以函数g(x)在区间-π6,13π12上有三个零点时,-12≤k≤32.





14.解析 (1)f(x)的最小正周期T=2ππ2=4,


对于函数f(x)=2sinπ2x+π4+1,


当2kπ+π2≤π2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)时,f(x)单调递减,


解得4k+12≤x≤4k+52(k∈Z),


所以函数f(x)的单调递减区间是4k+12,4k+52(k∈Z).


(2)由2sinπ2x+π4+1=0,


得sinπ2x+π4=-12,


所以函数f(x)的零点满足π2x+π4=2kπ-π6或π2x+π4=2kπ+π+π6(k∈Z),


即x=4k-56或x=4k+116(k∈Z),


所以x1,x2是集合A=x|x=4k-56,k∈Z或集合B=x|x=4k+116,k∈Z中的元素.


当x1,x2∈A时,(x1+x2)π2=2kπ-5π6(k∈Z),


则cs(x1+x2)π2=cs2kπ-5π6


=cs5π6=-32;


当x1∈A,x2∈B(或x1∈B,x2∈A)时,(x1+x2)π2=2kπ+π2(k∈Z),


则cs(x1+x2)π2=cs2kπ+π2


=csπ2=0;


当x1,x2∈B,(x1+x2)π2=2kπ-π6(k∈Z),


则cs(x1+x2)π2=cs2kπ-π6


=csπ6=32.


所以cs(x1+x2)π2的取值组成的集合是-32,0,32.


解题模板 研究y=Asin(ωx+φ)在x∈R上的性质,常用换元法,设t=ωx+φ,由y=Asin t的性质列方程(组)或不等式(组)进行求解.


15.解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即m-22x+1+m-22-x+1=0,即2m-2=0,故m=1.


(2)因为m=1,所以f(x)=1-22x+1.


任取x1,x2∈R,且x1

因为x1

所以函数f(x)在R上是增函数.


因为f(2a+cs2x)+f(4sin x-2a-1-7)<0,且f(x)是奇函数,


所以f(2a+cs2x)<-f(4sin x-2a-1-7)=f(2a-1-4sin x+7),


所以2a+cs2x<2a-1-4sin x+7,


即2a-2a-1<-cs2x-4sin x+7对任意x∈R都成立.


由于-cs2x-4sin x+7=(sin x-2)2+2,其中-1≤sin x≤1,


所以(sin x-2)2+2≥3,


即-cs2x-4sin x+7的最小值为3.


所以2a-2a-1<3,


即2a-1-2a-1-2<0,


解得0≤2a-1<2,


由0≤2a-1<2,得12≤a<52.


故实数a的取值范围是a|12≤a<52.