高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换优秀教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换优秀教学设计，共39页。

课时5.5.1 三角恒等变换(1)—两角和与差的正弦、余弦和正切公式


文档按顺序共3课时


两角差的余弦公式


第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式


第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式








1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.


2.熟记两角和、差的正弦、余弦、正切公式的形式及其变形,并能利用公式进行求值、计算.


3.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换.








第1课时 两角差的余弦公式


基础过关练


题组一 给角求值


1.cs 45°·cs 15°+sin 45°·sin 15°= ( )


A.12B.32C.33D.3





2.cs5π12csπ6+csπ12sinπ6= ( )


A.0B.12C.22D.32





3.sin 460°sin(-160°)+cs 560°cs(-280°)= ( )


A.-32B.-12C.12D.32





4.计算:sin 75°= .





5.计算:12sin 60°+32cs 60°= .





6.化简:2cs10°-sin20°cs20°= .





题组二 给值求值


7.若sin α=35,α∈π2,π,则csπ4-α的值为 ( )


A.-25B.-210C.-7210D.-7215





8.已知α为锐角,β为第三象限角,且cs α=1213,sin β=-35,则cs(α-β)的值为 ( )


A.-6365B.-3365C.6365D.3365





9.若α,β都是锐角,且cs α=55,sin(α-β)=1010,则cs β= ( )


A.22B.210


C.22或-210D.22或210





10.已知sin α=1213,cs β=35,α∈π2,π,β∈-π2,0,则cs(α-β)的值为 .





11.已知csα-β2=-35,sinα2-β=1213,且α∈π2,π,β∈0,π2,则cs α+β2的值为 .





12.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为210,255.求cs(α-β)的值.











题组三 给值求角


13.若α∈[0,π],sinα3sin4α3+csα3cs4α3=0,则α的值是 ( )


A.π6B.π4C.π3D.π2





14.若cs(α-β)=55,cs 2α=1010,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为 ( )


A.π6B.π4C.3π4D.5π6





15.已知α,β均为锐角,且cs α=255,cs β=1010,求α-β的值.





第1课时 两角差的余弦公式


第1课时 两角差的余弦公式


答案全解全析


基础过关练


1.B cs 45°·cs 15°+sin 45°·sin 15°=cs(45°-15°)=cs 30°=32.


2.C cs5π12csπ6+csπ12sinπ6


=cs5π12csπ6+sin5π12sinπ6


=cs5π12-π6


=csπ4=22.


3.B 原式=-sin 100°sin 160°+cs 200°·cs 280°


=-sin 80°sin 20°-cs 20°cs 80°


=-(cs 80°cs 20°+sin 80°sin 20°)


=-cs 60°=-12.


4.答案 6+24


解析 sin 75°=cs 15°=cs(45°-30°)


=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°


=22×32+22×12=6+24.


5.答案 32


解析 原式=sin 30°sin 60°+cs 30°cs 60°=cs(60°-30°)=cs 30°=32.


6.答案 3


解析 2cs10°-sin20°cs20°


=2cs(30°-20°)-sin20°cs20°


=3cs20°+sin20°-sin20°cs20°=3.


7.B ∵sin α=35且α∈π2,π,∴cs α=-45,∴cs π4-α=cs π4cs α+sinπ4sin α=-210.


8.A ∵α为锐角,且cs α=1213,∴sin α=1-cs2α=513.∵β为第三象限角,且sin β=-35,∴cs β=-1-sin2β=-45.


∴cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=1213×-45+513×-35=-6365.


9.A 由α,β都是锐角,且cs α=55,sin(α-β)=1010,得sin α=255,cs(α-β)=31010,


∴cs β=cs[α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=22.


10.答案 -6365


解析 ∵α∈π2,π,sin α=1213,∴cs α=-1-sin2α=-513.∵β∈-π2,0,


cs β=35,∴sin β=-1-cs2β=-45,故cs (α-β)=cs α·cs β+sin α·sin β=-513×35+1213×-45=-6365.


11.答案 3365


解析 ∵π2<α<π,0<β<π2,∴π4<α2<π2,-π4<-β2<0,π2<α+β<3π2,


∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2,π4<α+β2<3π4.


又csα-β2=-35,sinα2-β=1213,


∴sinα-β2=45,csα2-β=513.


∴csα+β2=csα-β2-α2-β


=csα-β2csα2-β+sinα-β2·sinα2-β


=-35×513+45×1213=-1565+4865=3365.


12.解析 依题意,得cs α=210,cs β=255.


因为α,β为锐角,所以sin α=7210,sin β=55,所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=210×255+7210×55=91050.


13.D 因为cs4α3csα3+sin4α3sinα3=0,


所以cs4α3-α3=0,所以cs α=0.


又α∈[0,π],所以α=π2,故选D.


14.C ∵cs(α-β)=55,cs 2α=1010,α,β∈0,π2,且α<β,∴α-β∈-π2,0,2α∈(0,π),∴sin(α-β)=-255,sin 2α=31010,


∴cs(α+β)=cs[2α-(α-β)]


=cs 2αcs(α-β)+sin 2αsin(α-β)


=1010×55+31010×-255=-22,


∵α+β∈(0,π),∴α+β=3π4.


15.解析 由条件得sin α=55,sin β=31010.


∴cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β


=255×1010+55×31010=22,


又α-β∈-π2,π2,∴α-β=±π4,


∵cs α>cs β,α,β均为锐角,


∴α<β,则α-β=-π4.








第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式


基础过关练


题组一 利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题


1.cs 5π12的值为 ( )


A.6+22B.22C.6-24D.3+24





2.sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是 ( )


A.-32B.-12C.12D.32





3.若tan α=3,tan β=5,则tan(α-β)的值为 ( )


A.-18B.-47C.12D.-17





4.tan80°-tan20°1+tan80°tan20°= .





5.已知cs θ=130<θ<π2,则sinθ+π4的值为 ,sinθ-π6的值为 .





6.已知α,β均为锐角,sin α=13,cs(α+β)=45.


(1)求csα-π3的值;


(2)求sin β的值.














7.已知tanπ12+α=2,tanβ-π3=22,求:


(1)tanα+β-π4的值;


(2)tan(α+β)的值.











题组二 利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题


8.已知tan α,tan β是方程x2+33x+4=0的两个根,且-π2<α<π2,-π2<β<π2,则α+β的值为 ( )


A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.-π3或2π3





9.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为 .





10.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ等于 .








11.设α,β为钝角,且sin α=55,cs β=-31010,则α+β的值为 .





题组三 利用两角和与差的三角函数公式进行化简


12.已知α+β=5π4,则(1+tan α)·(1+tan β)= ( )


A.-1B.-2


C.2D.3





13.下列四个式子是恒等式的是 ( )


A.sin(α+β)=sin α+sin β


B.cs(α+β)=cs αcs β+sin αsin β


C.tan(α-β)=tanα-tanβ1-tanαtanβ


D.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β





14.在△ABC中,若tan B=cs(C-B)sinA+sin(C-B),则这个三角形是 ( )


A.锐角三角形


B.直角三角形


C.等腰三角形


D.等腰三角形或直角三角形





15.下列式子的结果为3的有 (填序号).


①tan 25°+tan 35°+3tan 25°tan 35°;


②2(sin 35°cs 25°+sin 55°cs 65°);


③1+tan15°1-tan15°.





16.“在△ABC中,cs Acs B= +sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角.则实数a,b,c的大小关系是 .





能力提升练


题组一 利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题


1.已知α为钝角,且sinα+π12=13,则csα+5π12= ( )


A.22+36B.22-36


C.-22+36D.-22+36





2.已知-π2<α-β<π2,sin α+2cs β=1,cs α-2sin β=2,则sinβ+π3= ( )


A.33B.63C.36D.66





3.若0<α<π2,-π2<β<0,csπ4+α=13,csπ4-β2=33,则csα+β2= ( )


A.33B.-33C.539D.-69





4.已知tan(α+β)=1,tan(α-β)=7,则tan 2β= .





5.已知csα-π4=35,且α∈0,π4,则sinα-π4= ,sin α= .





6.已知sinα+π6=45,-π6<α<π3,求:


(1)csα-π3的值;


(2)cs α的值.














题组二 利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题


7.已知0<β<α<π2,点P(1,43)为角α的终边上一点,且sin α·sinπ2-β+cs αcsπ2+β=3314,则角β= ( )


A.π12B.π6C.π4D.π3





8.已知△ABC中,B=60°,且1csA+1csC=-2csB,若A>C,则角A的大小为 .





9.已知tan(α-β)=-7,cs α=-55,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求:


(1)tan β的值;


(2)α+β的值.














10.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A55,255,B-7210,210两点.


(1)求cs(α+β)的值;


(2)若α∈0,π2,β∈π2,π,求2α-β的值.














题组三 利用两角和与差的三角函数公式进行化简


11.已知在△ABC中,sin A=2sin Bcs C,则此三角形一定为 ( )


A.锐角三角形B.直角三角形


C.等腰三角形D.钝角三角形





12.若角A为不等边三角形ABC的最小内角,则函数f(A)=2sinAcsA1+sinA+csA的值域为 .





第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式


答案全解全析


基础过关练


1.C cs 5π12=-cs 7π12=-cs π3+π4


=-cs π3cs π4-sinπ3sinπ4


=-12×22-32×22=6-24.


2.B 原式=-sin 65°sin 55°+sin 25°sin 35°


=-cs 25°cs 35°+sin 25°sin 35°


=-cs(35°+25°)=-cs 60°=-12,故选B.


3.A ∵tan α=3,tan β=5,∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanα·tanβ=3-51+3×5=-18,故选A.


4.答案 3


解析 原式=tan(80°-20°)=tan 60°=3.


5.答案 4+26;26-16


解析 因为cs θ=130<θ<π2,


所以sin θ=1-cs2θ=223,


所以sinθ+π4=sin θcsπ4+cs θsinπ4


=22×223+13=4+26,


sinθ-π6=sin θcsπ6-cs θsinπ6


=223×32-13×12=26-16.


6.解析 (1)∵α为锐角,sin α=13,∴cs α=1-sin2α=223,


∴csα-π3=cs αcs π3+sin αsinπ3=223×12+13×32=22+36.


(2)∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π),


由cs(α+β)=45,得


sin(α+β)=1-cs2(α+β)=35,


∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cs α-cs (α+β)sin α=35×223-45×13=62-415.


7.解析 (1)tanα+β-π4


=tanα+π12+β-π3


=tanα+π12+tanβ-π31-tanα+π12tanβ-π3


=2+221-2×22=-2.


(2)tan(α+β)=tanα+β-π4+π4


=tanα+β-π4+tanπ41-tanα+β-π4tanπ4


=-2+11-(-2)×1=22-3.


8.B 由一元二次方程根与系数的关系得tan α+tan β=-33,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0,


∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-331-4=3,


又-π2<α<π2,-π2<β<π2,且tan α<0,tan β<0,


∴-π<α+β<0,∴α+β=-2π3.


9.答案 3π4


解析 由(tan α-1)(tan β-1)=2,


可得tan α+tan β+1=tan αtan β,


所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1.


由α,β是锐角,可得α+β∈(0,π),


所以α+β=3π4.


10.答案 π2


解析 由题图易知tan α=13,tan β=12,γ=π4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1,


∴由题意知α+β=π4,所以α+β+γ=π2.


11.答案 7π4


解析 ∵π2<α<π,π2<β<π且sin α=55,cs β=-31010,


∴cs α=-255,sin β=1010,且π<α+β<2π,


∴cs (α+β)=cs αcs β-sin αsin β=-255×-31010-55×1010=325-210=22.


∵π<α+β<2π,∴α+β=7π4.


12.C ∵α+β=5π4,∴tan(α+β)=1,∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+(tan α+tan β)+tan α·tan β=1+tan (α+β)·(1-tan α·tan β)+tan α·tan β=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.


13.D 由两角和与差的正弦、余弦、正切公式可知,A,B,C中的等式不一定成立.选项D中,sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcs β+cs αsin β)(sin αcs β-cs αsin β)=sin2αcs2β-cs2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β.故选D.


14.B ∵在△ABC中,A+B+C=π,∴tan B=cs(C-B)sinA+sin(C-B)=csCcsB+sinCsinBsin(B+C)+sin(C-B)=csCcsB+sinCsinB2csBsinC,


即sinBcsB=csCcsB+sinCsinB2csBsinC,化简得cs(B+C)=0,即cs (π-A)=0,∴cs A=0.


∵0

15.答案 ①②③


解析 ①tan 25°+tan 35°+3tan 25°tan 35°=tan 60°(1-tan 25°tan 35°)+3tan 25°·tan 35°=3;②2(sin 35°cs 25°+sin 55°·cs 65°)=2(sin 35°cs 25°+cs 35°·sin 25°)=2sin(35°+25°)=3;


③1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan 60°=3.


16.答案 b

解析 由题意,横线处的实数等于cs(A+B),即cs(π-C),故当C是直角时,a=cs(A+B)=cs π2=0;当C是锐角时,-1

第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式


能力提升练


1.C ∵α为钝角,且sinα+π12=13,


∴csα+π12=-223,


∴csα+5π12=csα+π12+π3


=csα+π12csπ3-sinα+π12sinπ3


=-223×12-13×32=-22+36.


2.A 将sin α+2cs β=1,cs α-2sin β=2两个等式两边分别平方再相加,得5+4sin(α-β)=3,∴sin(α-β)=-12,∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π6,即α=β-π6,代入sin α+2cs β=1,得3sinβ+π3=1,即sinβ+π3=33.


3.C csα+β2=cs π4+α-π4-β2=csπ4+αcsπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2,


易知π4+α∈π4,3π4,π4-β2∈π4,π2,又csπ4+α=13,csπ4-β2=33,所以sinπ4+α=223,sinπ4-β2=63,


则csα+β2=13×33+223×63=539,故选C.


4.答案 -34


解析 tan 2β=tan [(α+β)-(α-β)]


=tan(α+β)-tan(α-β)1+tan(α+β)tan(α-β)=1-71+1×7=-34.


5.答案 -45;-210


解析 由0<α<π4得-π4<α-π4<0,所以sinα-π4=-1-cs2α-π4=-45,


sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4·csπ4+csα-π4sinπ4=-210.


6.解析 (1)csα-π3=csα+π6-π2=sinα+π6=45.


(2)由(1)知sinα+π6=45,-π6<α<π3,


∴0<α+π6<π2,


∴csα+π6=1-sin2α+π6=35,


∴cs α=csα+π6-π6=csα+π6·csπ6+sinα+π6sinπ6=4+3310.


7.D 由题意知|OP|=7(O为坐标原点),


∴sin α=437,cs α=17.


由sin αsinπ2-β+cs αcsπ2+β=3314,


得sin αcs β-cs αsin β=3314,


∴sin(α-β)=3314.


∵0<β<α<π2,


∴0<α-β<π2,


∴cs(α-β)=1-sin2(α-β)=1314,


∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcs (α-β)-cs αsin(α-β)=437×1314-17×3314=32.


∵0<β<π2,∴β=π3,故选D.


8.答案 105°


解析 由B=60°,得A+C=120°.


设A-C2=α,∵A>C,∴0°<α<60°,


∴A=A+C2+A-C2=60°+α,C=A+C2-A-C2=60°-α,


∴1csA+1csC=1cs(60°+α)+1cs(60°-α)


=112csα-32sinα+112csα+32sinα


=csα14cs2α-34sin2α=csαcs2α-34.


由题意得csαcs2α-34=-2csB=-22,


整理得42cs2α+2cs α-32=0,


即(2cs α-2)(22cs α+3)=0.


∵22cs α+3≠0,∴2cs α-2=0.


∴cs α=22,故α=45°.


∴A=60°+45°=105°.


9.解析 (1)因为cs α=-55,α∈(0,π),所以sin α=1-cs2α=255,


因此tan α=sinαcsα=-2,


故tan β=tan[α-(α-β)]


=tanα-tan(α-β)1+tanα·tan(α-β)=13.


(2)易知tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-2+131-(-2)×13=-1.


因为cs α=-55<0,α∈(0,π),所以α∈π2,π,


因为tan β=13>0,β∈(0,π),所以β∈0,π2,


从而α+β∈π2,3π2,因此α+β=3π4.


10.解析 (1)由A55,255,B-7210,210,得cs α=55,sin α=255,cs β=-7210,sin β=210,


则cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=55×-7210-255×210=-91050.


(2)由已知得cs 2α=cs(α+α)=cs α·cs α-sin αsin α=-35,sin 2α=sin αcs α+cs αsin α=45.


∵cs 2α<0,α∈0,π2,∴2α∈π2,π.∵β∈π2,π,∴2α-β∈-π2,π2.


∵sin(2α-β)=sin 2αcs β-cs 2αsin β


=45×-7210--35×210=-22,


∴2α-β=-π4.


11.C ∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C).


由已知可得sin(B+C)=2sin Bcs C⇒sin Bcs C+cs Bsin C=2sin Bcs C⇒


sin Bcs C-cs Bsin C=0⇒sin(B-C)=0.


∵0

∴B=C.又无法判断其是不是锐角三角形,直角三角形或等边三角形,所以△ABC一定为等腰三角形.


12.答案 (0,2-1]


解析 由已知得A∈0,π3,设t=sin A+cs A,


则t=sin A+cs A=2sinA+π4∈(1,2],2sin Acs A=t2-1,


于是f(A)=2sinAcsA1+sinA+csA=t2-1t+1=t-1∈(0,2-1].


陷阱分析 解决同时含sin x±cs x与sin xcs x形式的函数的最大(小)值问题时,常用换元法,即令t=sin x±cs x,若t=sin x+cs x,则t=2sinx+π4,且sin xcs x=t2-12.解题时要注意t的范围,不能默认t∈R.








第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式


基础过关练


题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题


1.cs π12-sinπ12cs π12+sinπ12的值为 ( )


A.-32B.-12


C.12D.32





2.1-tan275°tan75°的值是 ( )


A.233B.-233


C.23D.-23





3.下列各式中与1-sin4相等的是 ( )


A.sin 2-cs 2B.cs 2-sin 2


C.cs 2D.-cs 2





4.sin4π12-cs4π12= ( )


A.-12B.-32


C.12D.32





5.2-sin22+cs4的值是 ( )


A.sin 2B.-cs 2


C.-3sin 2D.-3cs 2





题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题


6.已知x∈-π2,0,cs x=45,则tan 2x等于 ( )


A.724B.-724


C.247D.-247





7.已知cs2x2csx+π4=15,则sin 2x= ( )


A.-2425B.-45


C.2425D.255





8.已知cs α=35,α∈-π2,0,则sin 2α= .





9.等腰三角形一个底角的余弦值为23,那么这个三角形顶角的正弦值为 .





题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用


10.化简tan14°1-tan214°·cs 28°的结果为 ( )


A.12sin 28°B.sin 28°


C.2sin 28°D.sin 14°cs 28°





11.求证:cs2(A+B)-sin2(A-B)=cs 2Acs 2B.











12.已知函数f(x)=2csx-π6,x∈R.


(1)求f(π)的值;


(2)若fα+2π3=65,α∈-π2,0,求f(2α)的值.











能力提升练


题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题


1.若tanπ12·cs5π12=sin5π12-msinπ12,则实数m的值为 ( )


A.23B.3


C.2D.3





2.计算3cs10°-1sin170°的结果是 ( )


A.-4B.-2


C.2D.4





3.(多选)下列各式中,值为32的是 ( )


A.2sin 15°cs 15°B.1-2sin215°


C.sin215°+cs215°D.3tan15°1-tan215°





4.sin 50°1+3tan10°的值为 .





5.4cs 50°-tan 40°= .





题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题


6.若sinθ-π4=23,则sin 2θ= ( )


A.53B.59


C.19D.±19





7.若sinπ6-α=33,则sinπ6+2α= ( )


A.63B.223C.33D.13





8.若tanπ4-α=12,则tan 2α+1cs2α= .





9.若9-cs2θcsθ+1=4,则(sin θ)2 015+(cs θ)2 016的值为 .深度解析





10.已知π2<α<π,sin α=45.


(1)求tan 2α的值;


(2)求cs2α-π4的值.








11.已知α,β为锐角,sin α=17,cs(α+β)=35.


(1)求sin2α-π2的值;


(2)求cs β的值.




















题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用


12.已知函数f(x)=1+csx+3-3csx,则f(x)的最大值为 ( )


A.2+3 B.6C.22D.2





13.设0≤x<2π,且1-sin2x=sin x-cs x,则 ( )


A.0≤x≤π4 B.π4≤x≤5π4


C.π4≤x≤7π4 D.π2≤x≤3π2





14.(多选)已知0<θ<π4,若sin 2θ=m,cs 2θ=n,且m≠n,则下列选项中与tanπ4-θ恒相等的为 ( )


A.n1+mB.m1+nC.1-nmD.1-mn





15.已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β.


求证:tan α+tan β=2tan 2β.























16.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,45,以角α的终边为始边,逆时针旋转π4得到角β.


(1)求tan α的值;


(2)求cs(α+β)的值.



































17.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上.


(1)求cs2α+π4的值;


(2)已知α∈0,π2,sinβ+π4=1010,-π2<β<0,求α-β的值.























第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式


答案全解全析


基础过关练


1.D 原式=cs2π12-sin2π12=csπ6=32.


2.D 1-tan275°tan75°=2tan150°=2-33=-23.


故选D.


3.A 1-sin4=(cs2-sin2)2=|cs 2-sin 2|,又2弧度角的终边在第二象限,


∴sin 2>0,cs 2<0,


∴1-sin4=sin 2-cs 2,故选A.


4.B 原式=sin2π12+cs2π12sin2π12-cs2π12=-cs2π12-sin2π12=-csπ6=-32.


5.D 原式=1+cs22+2cs22-1=3cs22=-3cs 2.


6.D ∵cs x=45,x∈-π2,0,


∴sin x=-35,∴tan x=-34,


∴tan 2x=2tanx1-tan2x=2×-341--342=-247.


故选D.


7.A ∵cs2x2csx+π4=15,∴cs2x-sin2xcsx-sinx=15,∴cs x+sin x=15,∴1+sin 2x=125,


∴sin 2x=-2425.


8.答案 -2425


解析 因为cs α=35,α∈-π2,0,所以sin α=-45,故sin 2α=2sin αcs α=-2425.


9.答案 459


解析 设A是等腰△ABC的顶角,


则cs B=23,


sin B=1-cs2B=1-232=53.


所以sin A=sin(180°-2B)=sin 2B


=2sin Bcs B=2×53×23=459.


10.A 原式=12tan 28°cs 28°=12sin 28°,故选A.


11.证明 左边=1+cs(2A+2B)2-1-cs(2A-2B)2


=cs(2A+2B)+cs(2A-2B)2


=12(cs 2Acs 2B-sin 2Asin 2B+cs 2A·cs 2B+sin 2Asin 2B)=cs 2Acs 2B=右边,


∴原等式成立.


12.解析 (1)f(π)=2csπ-π6


=-2csπ6 =-2×32=-3.


(2)因为fα+2π3=2csα+π2=-2sin α=65,所以sin α=-35.


又α∈-π2,0,所以cs α=1-sin2α=1--352=45,


所以sin 2α=2sin αcs α=2×-35×45=-2425,


cs 2α=2cs2α-1=2×452-1=725.


所以f(2α)=2cs2α-π6


=2cs 2αcsπ6+2sin 2αsinπ6


=2×725×32+2×-2425×12=73-2425.


第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式


能力提升练


1.A 由tanπ12cs5π12=sin5π12-msinπ12得,msinπ12csπ12=sin5π12csπ12-cs5π12·sinπ12,


因此12msinπ6=sin5π12-π12=sinπ3,


∴14m=32,即m=23,故选A.


2.A 3cs10°-1sin170°


=3cs10°-1sin(180°-10°)=3cs10°-1sin10°


=3sin10°-cs10°sin10°cs10°


=232sin10°-12cs10°sin10°cs10°


=2sin(10°-30°)sin10°cs10°=-2sin20°12×2sin10°cs10°


=-4sin20°sin20°=-4.故选A.


3.BD A不符合,2sin 15°cs 15°=sin 30°=12;B符合,1-2sin215°=cs 30°=32;C不符合,sin215°+cs215°=1;D符合,3tan15°1-tan215°=32·2tan15°1-tan215°=32·tan 30°=32.故选BD.


4.答案 1


解析 原式=sin 50°1+3sin10°cs10°


=sin 50°·cs10°+3sin10°cs10°


=2sin 50°·sin30°cs10°+cs30°sin10°cs10°


=2cs40°sin40°cs10°=sin80°cs10°=1.


5.答案 3


解析 4cs 50°-tan 40°


=4sin40°cs40°-sin40°cs40°


=2sin80°-sin40°cs40°=2cs10°-sin40°cs40°


=2cs(40°-30°)-sin40°cs40°


=2cs40°cs30°+2sin40°sin30°-sin40°cs40°


=3cs40°cs40°=3.


6.C 若sinθ-π4=23,


则sinπ4-θ=-23,


∴sin 2θ=csπ2-2θ=1-2sin2π4-θ=1-2×49=19.


7.D 由题意及诱导公式可得sinπ6+2α=csπ2-π6+2α=csπ3-2α,


又由余弦的倍角公式,可得csπ3-2α=1-2sin2π6-α=1-2×332=13,


即sinπ6+2α=13.


8.答案 2


解析 由tanπ4-α=1-tanα1+tanα=12,可求得tan α=13,


则tan 2α+1cs2α=2tanα1-tan2α+sin2α+cs2αcs2α-sin2α=2tanα+tan2α+11-tan2α=23+19+11-19=2,


故答案是2.


9.答案 1


解析 ∵9-cs2θcsθ+1=4,


∴cs2θ+2cs θ-3=0,


解得cs θ=1或cs θ=-3(舍去).


从而sin2θ=1-cs2θ=0,即sin θ=0.


∴(sin θ)2 015+(cs θ)2 016=0+1=1.


解题模板 解决这类问题时,首先将不同的角化为相同的角,再将不同的三角函数名称化为相同的三角函数名称,如本题中的等式通过这样的变形后化为了一元二次方程求解,这是解决三角函数问题的基本途径.


10.解析 (1)由题意得cs α=-35,∴tan α=-43,∴tan 2α=2tanα1-tan2α=-831-169=247.


(2)∵cs 2α=1-2sin2α=1-2×452=-725,sin 2α=2sin αcs α=2×45×-35=-2425,


∴cs2α-π4=cs 2αcs π4+sin 2αsinπ4=-725×22+-2425×22=-31250.


11.解析 (1)sin2α-π2=-cs 2α=2sin2α-1=-4749.


(2)∵α为锐角,sin α=17,


∴cs α=1-sin2α=437.


易知α+β∈(0,π),且cs (α+β)=35,


∴sin(α+β)=1-cs2(α+β)=45.


∴cs β=cs [(α+β)-α]


=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α


=35×437+45×17=4+12335.


12.C ∵cs x=2cs2x2-1=1-2sin2x2,


∴f(x)=1+csx+3-3csx


=2csx2+6sinx2


≥2csx2+6sin x2


=22sinx2+π6,


当sinx2+π6=1时, f(x)有最大值,最大值为22,故选C.


13.B 依题意得1-sin2x


=(sinx-csx)2


=|sin x-cs x|=sin x-cs x,


∴0≤x<2π,sinx-csx≥0,


解得π4≤x≤5π4.


故选B.


14.AD tanπ4-θ=1-tanθ1+tanθ=csθ-sinθcsθ+sinθ=(csθ-sinθ)2cs2θ-sin2θ=1-2sinθcsθcs2θ-sin2θ=1-sin2θcs2θ=cs2θ1+sin2θ.


∴tanπ4-θ=1-mn=n1+m,即A,D正确.


选项B中,sin2θ1+cs2θ=2sinθcsθ2cs2θ=tan θ,选项B不正确,


同理选项C错误,故选AD.


15.证明 因为tan(α-β)=sin 2β,


tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ,


sin 2β=2sin βcs β=2sinβcsβsin2β+cs2β=2tanβtan2β+1,


所以tanα-tanβ1+tanαtanβ=2tanβtan2β+1,整理得


tan α=3tanβ+tan3β1-tan2β,


所以tan α+tan β


=3tanβ+tan3β+tanβ-tan3β1-tan2β


=2×2tanβ1-tan2β


=2tan 2β.


所以原等式成立.


16.解析 (1)∵角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,45,


∴tan α=45-35=-43.


(2)以角α的终边为始边,逆时针旋转π4得到角β,∴β=α+π4.


易得cs α=-35,sin α=45,


∴sin 2α=2sin αcs α=-2425,


cs 2α=2cs2α-1=-725.


∴cs(α+β)=cs2α+π4=cs 2αcsπ4-sin 2αsinπ4=22(cs 2α-sin 2α)=17250.


17.解析 (1)依题意知tan α=2.


cs2α+π4=22(cs 2α-sin 2α)


=22·cs2α-sin2α-2sinαcsαcs2α+sin2α


=22·1-tan2α-2tanα1+tan2α


=22×1-4-41+4=-7210.


(2)∵α∈0,π2,


∴sin α=255,cs α=55.


∵sinβ+π4=1010,-π2<β<0,


∴-π4<β+π4<π4,


∴csβ+π4=31010,


∴csα-β+π4


=cs αcsβ+π4+sin αsinβ+π4


=55×31010+255×1010=22.


∵α∈0,π2,β+π4∈-π4,π4,


∴α-β+π4∈-π4,3π4,


∴α-β+π4=π4,


∴α-β=π2.