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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换获奖教学设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换获奖教学设计，共20页。
课时5.5.2 三角恒等变换(2)—简单的三角恒等变换
1.能用二倍角公式导出半角公式,并能进行简单的应用.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.
3.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用.
4.体会三角恒等变换中的基本思想方法,加强逻辑推理和数学运算能力的培养.
基础过关练
题组一 三角函数式的求值问题
1.若cs 2α=-45,且α∈π2,π,则sin α= ( )
A.31010B.1010C.35 D.-1010
2.cs20°cs35°1-sin20°= ( )
A.1B.2C.2D.3
3.已知sinα2-csα2=-15,450°<α<540°,则tanα2的值为 .
4.已知cs(π-α)=223,α∈(-π,0).
(1)求sin α的值;
(2)求cs2π4-α2+sin3π+α2sin3π2-α2的值.
5.已知α为钝角,β为锐角,且sin α=45,sin β=1213,求csα-β2与tanα-β2的值.
题组二 三角函数式的化简与证明问题
6.化简1+sin2的结果是 .
7.已知2cs2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0,b∈R),则A= ,b= .
8.化简(1+sinα+csα)sinα2-csα22+2csα= (其中180°<α<360°).
9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,sin Acs2C2+sin Ccs2A2=32sin B,求证:sin A+sin C=2sin B.
题组三 三角恒等变换的综合应用
10.函数y=sinx1+csx的最小正周期等于 ( )
A.π2B.πC.2πD.3π
11.函数y=12sin 2x+sin2x的值域是 ( )
A.-12,32B.-32,12
C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12
12.函数y=sinx-π6cs x的最大值为 ( )
A.12B.14C.1D.22
13.在△ABC中,若sin Asin B=cs2C2,则△ABC是 ( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
14.已知函数f(x)=sin2x-π6+2cs2x-1.
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的集合;
(2)若α∈π4,π2,且f(α)=45,求cs 2α的值.
能力提升练
题组一 三角函数式的求值问题
1.已知sinα-2csαsinα+csα=2,则sin 2α= ( )
A.917B.-917C.817D.-817
2.已知tan α=2,则tanα-π4+tan 2α= ( )
A.-1B.1C.53D.1715
3.已知α为第三象限角,且sin α+cs α=2m,sin 2α=m2,则m的值为(深度解析)
A.33B.-33C.-13D.-23
4.(多选)下列各式中,值为12的是 ( )
A.tan22.5°1-tan222.5°B.tan 15°cs215°
C.33cs2π12-33sin2π12D.1-cs60°2
5.设α∈0,π3,已知6sin α+2cs α=3.
(1)求tanα+π6的值;
(2)求cs2α+7π12的值.
6.已知α∈π2,π,且cs α=-35.
(1)求tan α的值;
(2)求cs2αsin2α+1的值.
7.设α,β∈(0,π),且sin(α+β)=513,tanα2+π4=3.
(1)求cs α的值;
(2)求cs β的值.
8.在①tan α=43,②7sin 2α=2sin α,③csα2=277这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解决问题.
已知α∈0,π2,β∈0,π2,cs(α+β)=-13, ,求cs β.
题组二 三角函数式的化简与证明问题
9.若π2<θ<π,则1-sinθ-12(1-csθ)= ( )
A.2sinθ2-csθ2B.csθ2-2sinθ2
C.csθ2D.-csθ2
10.(多选)下列各式与tan α相等的是 ( )
A.1-cs2α1+cs2α
B.sinα1+csα
C.1+cs(π+2α)2·1csα(α∈(0,π))
D.1-cs2αsin2α
11.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cs215°+cs215°-3sin 15°sin 15°;
cs280°+cs2(-50°)-3sin 80°sin(-50°);
cs2170°+cs2(-140°)-3sin 170°sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
题组三 三角恒等变换的综合应用
12.已知函数f(x)=sin x+acs x(a∈R)图象的一条对称轴是直线x=π6,则a的值为 ( )
A.5B.5C.3D.3
13.下列函数中,以π2为最小正周期的偶函数是 ( )
A.y=sin 2x+cs 2xB.y=sin 2xcs 2x
C.y=cs4x+π2D.y=sin22x-cs22x
14.已知A是函数f(x)=2sin2 018x+π4+cs2 018x-π4的最大值,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为 ( )
A.11 009B.π1 009
C.3π2 018D.2π1 009
15.(多选)已知函数f(x)=cs 2x-23sin xcs x,则下列结论中正确的是 ( )
A.存在x1,x2,当x1-x2=π时,f(x1)=f(x2)成立
B.f(x)在区间-π6,π3上单调递增
C.函数f(x)的图象关于点π12,0对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=5π12对称
16.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16,则cs(α-β)= .
17. 已知函数f(x)=2cs xsinx-π3+3sin2x+sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[0,π]上的单调性.
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为α∈π2,π,所以sin α>0,由半角公式可得sin α=1-cs2α2=31010.
2.C 原式=cs210°-sin210°cs35°(cs10°-sin10°)=cs10°+sin10°cs35°=2cs35°cs35°=2.
3.答案 2
解析 由题意得sinα2-csα22=15,即1-sin α=15,∴sin α=45.
∵450°<α<540°,
∴cs α=-35,
∴tanα2=1-csαsinα=1--3545=2.
4.解析 (1)∵cs(π-α)=-cs α=223,
∴cs α=-223.
又∵α∈(-π,0),∴sin α=-1-cs2α=-13.
(2)cs2π4-α2+sin3π+α2·sin3π2-α2=121+cs π2-α+-sinα2·-csα2=12+12sin α+sinα2·csα2=12+12sin α+12sin α=12+sin α=12+-13=16.
5.解析 因为α为钝角,β为锐角,sin α=45,sin β=1213,
所以cs α=-35,cs β=513.
所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=-35×513+45×1213=3365.
因为π2<α<π,且0<β<π2,所以0<α-β<π.
解法一:由0<α-β<π可得,0<α-β2<π2,
所以csα-β2=1+cs(α-β)2=1+33652
=76565,
sinα-β2=1-cs2α-β2=46565.
所以tanα-β2=sinα-β2csα-β2=47.
解法二:同解法一,求得cs α-β2=76565.
由0<α-β<π,cs(α-β)=3365,得
sin(α-β)=1-cs2(α-β)=5665.
所以tanα-β2=sin(α-β)1+cs(α-β)=56651+3365=47.
6.答案 sin 1+cs 1
解析 1+sin2
=sin21+cs21+2sin1cs1
=(sin1+cs1)2
=|sin 1+cs 1|.
因为1∈0,π2,所以sin 1>0,cs 1>0,
则1+sin2=sin 1+cs 1.
7.答案 2;1
解析 2cs2x+sin 2x=cs 2x+sin 2x+1=2sin2x+π4+1,∴A=2,b=1.
8.答案 cs α
解析 原式=
2cs2α2+2sinα2csα2sinα2-csα24cs2α2
=2csα2csα2+sinα2sinα2-csα22csα2
=csα2sin2α2-cs2α2csα2
=-csα2csαcsα2.
因为180°<α<360°,所以90°<α2<180°,
所以csα2<0,所以原式=cs α.
9.证明 由sin Acs2C2+sin Ccs2A2=32sin B,
得sin A·1+csC2+sin C·1+csA2=32·sin B,
即sin A+sin C+sin Acs C+cs Asin C=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(π-B)=3sin B,
即sin A+sin C+sin B=3sin B,
∴sin A+sin C=2sin B.
10.C 由y=2sinx2csx22cs2x2=tanx2,得最小正周期T=π12=2π.
11.C y=12sin 2x+sin2x=12sin 2x+1-cs2x2=12+22sin2x-π4,
∴函数的值域为12-22,12+22.
12.B y=sinx-π6cs x
=sin xcs π6cs x-cs xsin π6cs x
=32sin xcs x-12cs2x
=34sin 2x-12·1+cs2x2
=34sin 2x-14-14cs 2x
=12sin2x-π6-14,
∴ymax=12-14=14.
13.B sin Asin B=cs2C2=12(1+cs C),即
2sin Asin B=1+cs C=1-cs(A+B),
∴2sin Asin B=1-cs Acs B+sin Asin B,变形得cs(A-B)=1,
又因为A-B∈(-π,π),∴A-B=0,即A=B,不能说明△ABC是直角三角形或等边三角形,则△ABC是等腰三角形.
14.解析 (1)f(x)=sin2x-π6+2cs2x-1
=sin 2xcsπ6-cs 2xsinπ6+cs 2x
=32sin 2x+12cs 2x=sin2x+π6.
所以当2x+π6=2kπ+π2,k∈Z,即x=kπ+π6,k∈Z时, f(x)max=1,
相应x的取值集合为xx=kπ+π6,k∈Z.
(2)由(1)知f(α)=sin2α+π6=45.
由π4<α<π2,得2π3<2α+π6<7π6,
所以cs2α+π6=-35.
因此cs 2α=cs2α+π6-π6
=cs 2α+π6csπ6+sin2α+π6·sinπ6
=-35×32+45×12=-33+410.
能力提升练
1.D 由sinα-2csαsinα+csα=2,可得tanα-2tanα+1=2,即tan α=-4,
所以sin 2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=-817.
2.A tanα-π4+tan 2α=tanα-11+tanα+2tanα1-tan2α=2-11+2+2×21-4=13-43=-1,故选A.
3.B 依题意得sin 2α=2sin αcs α=m2,
又(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α=1+m2=4m2,∴m2=13.
由α是第三象限角知,sin α+cs α=2m<0,
∴m=-33,故选B.
解题模板 利用sin α+cs α与sin αcs α的关系列等式,解方程求m的值,解题时要运用角的范围确定m的符号,防止符号错误导致结论错误.
4.ACD A符合,原式=12×2tan22.5°1-tan222.5°=12tan 45°=12;B不符合,原式=sin 15°·cs 15°=12sin 30°=14;C符合,原式=33csπ6=12;D符合,原式=sin 30°=12.故选ACD.
5.解析 (1)因为6sin α+2cs α=3,
所以sinα+π6=64.
因为α∈0,π3,所以α+π6∈π6,π2,所以csα+π6=104.
所以tanα+π6=155.
(2)cs2α+π3=2cs2α+π6-1=2×1042-1=14.
因为α∈0,π3,所以2α+π3∈π3,π,所以sin2α+π3=154,
所以cs2α+7π12=cs2α+π3+π4
=cs2α+π3csπ4-sin2α+π3·sinπ4=14×22-154×22=2-308.
6.解析 因为α∈π2,π,cs α=-35,
所以sin α=1-cs2α=1--352=45,所以tan α=sinαcsα=-43.
(2)由(1)知sin α=45,所以sin 2α=2sin αcs α=2×45×-35=-2425,
cs 2α=2cs2α-1=2×-352-1=-725,
因此cs2αsin2α+1=-725-2425+1=-7.
7.解析 (1)解法一:tanα2=tanα2+π4-π4=tanα2+π4-tanπ41+tanα2+π4tanπ4=12,
∴cs α=cs2α2-sin2α2
=cs2α2-sin2α2cs2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-1221+122=35.
解法二:令θ=α2+π4,则tan θ=3.
cs α=sinα+π2=sin 2θ=2sin θcs θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×332+1=35.
(2)∵α∈(0,π),∴sin α>0,
∴sin α=1-cs2α=45.
∵sin(α+β)=513,且513<45,∴sin(α+β)0,且α∈(0,π),可得α∈0,π2.∵β∈(0,π),∴α+β∈0,3π2.若α+β∈0,π2,∵函数y=sin x在0,π2上是增函数,且sin(α+β)
∴α+β<α,即β<0,这与β∈(0,π)矛盾,
∴α+β∈π2,3π2,
∴cs(α+β)=-1-sin2(α+β)=-1213.
∴cs β=cs(α+β-α)=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α=-1213×35+513×45=-1665.
8.解析 方案一:选条件①.
解法一:因为tan α=43,所以sinαcsα=43.
则sinα=43csα,sin2α+cs2α=1,
解得sinα=437,csα=17或sinα=-437,csα=-17.
因为α∈0,π2,所以sinα=437,csα=17.
因为cs(α+β)=-13,且sin2(α+β)+cs2(α+β)=1,
所以sin2(α+β)=89.
因为α∈0,π2,β∈0,π2,
所以0<α+β<π,
所以sin(α+β)=223.
所以cs β=cs[(α+β)-α]
=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α
=-13×17+223×437
=86-121.
解法二:因为α∈0,π2,tan α=43,
所以点P(1,43)在角α的终边上,
所以cs α=112+(43)2=17,
sin α=4312+(43)2=437.
以下同解法一.
方案二:选条件②.
因为7sin 2α=2sin α,
所以14sin αcs α=2sin α.
因为α∈0,π2,所以sin α≠0 ,
所以cs α=17.
又因为sin2α+cs2α=1,所以sin2α=4849.
因为α∈0,π2,所以sin α=437.
以下同方案一的解法一.
方案三:选条件③.
因为csα2=277,所以cs α=2cs2α2-1=17.
由sin2α+cs2α=1,得sin2α=4849.
因为α∈0,π2,所以sin α=437.
以下同方案一的解法一.
9.D ∵π2<θ<π,∴π4<θ2<π2,∴sinθ2>csθ2>0.
∵1-sin θ=sin2θ2+cs2θ2-2sinθ2csθ2=sinθ2-csθ22,12(1-cs θ)=sin2θ2,
∴1-sinθ-12(1-csθ)
=sinθ2-csθ22-sin2θ2
=sinθ2-csθ2-sinθ2
=-csθ2.
10.CD A不符合,1-cs2α1+cs2α=2sin2α2cs2α=tan2α=|tan α|;B不符合,sinα1+csα=2sinα2csα22cs2α2=tanα2;C符合,因为α∈(0,π),所以原式=1-cs2α2·1csα=sinαcsα=tan α;D符合,1-cs2αsin2α=2sin2α2sinαcsα=tan α.故选CD.
11.解析 (1)cs215°+cs215°-3sin 15°·sin 15°
=2cs215°-3sin215°
=1+cs 30°-32(1-cs 30°)
=1+32-32×1-32=74.
(2)推广:当α+β=30°时,cs2α+cs2β-3sin αsin β=74.
证明:∵α+β=30°,∴β=30°-α,
cs2α+cs2β-3sin αsin β
=cs2α+cs2(30°-α)-3sin αsin(30°-α)
=cs2α+32csα+12sinα2-3sin α·12csα-32sinα
=cs2α+34cs2α+32cs αsin α+14sin2α-32cs αsin α+32sin2α
=74cs2α+74sin2α=74.
12.D 函数f(x)=sin x+acs x=a2+1sin(x+θ),其中tan θ=a,θ∈-π2,π2,
其图象关于直线x=π6对称,所以θ+π6=π2,解得θ=π3,所以tan θ=a=3,故选D.
13.D 选项A中,y=2sin2x+π4,最小正周期为π,故A错误;选项B中,y=12sin 4x,最小正周期为π2,是奇函数,故B错误;选项C中,y=-sin 4x,最小正周期为π2,是奇函数,故C错误;选项D中,y=-cs 4x,最小正周期为π2,是偶函数,故选D.
14.C ∵f(x)=2sin2 018x+π4+cs2 018x-π4
=2sin 2 018x+2cs 2 018x+22·cs 2 018x+22sin 2 018x
=322cs2 018x+22sin2 018x
=3sin2 018x+π4,
∴A=f(x)max=3,周期T=2π2 018=π1 009,
又存在实数x1,x2,对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,
∴f(x2)=f(x)max=3,f(x1)=f(x)min=-3,
|x1-x2|的最小值为12T=π2 018,又A=3,
∴A·|x1-x2|的最小值为3π2 018.故选C.
15.AC 易知f(x)=2sinπ6-2x=2sin2x+5π6,∴f(x)的最小正周期T=π,A正确;令-π2+2kπ≤2x+5π6≤π2+2kπ(k∈Z),得-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为-2π3+kπ,-π6+kπ(k∈Z),B错误;
∵对称中心的横坐标满足2x+5π6=kπ(k∈Z),∴x=kπ2-5π12(k∈Z),当k=1时,x=π12,C正确; f5π12=2sin2×5π12+5π6=-3≠±2,D错误.故选AC.
16.答案 716
解析 设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.
因此4cs α-4sin α=3⇒cs α-sin α=34,①
4sin β-4cs β=3⇒sin β-cs β=34.②
①×②,得sin βcs α-sin βsin α-cs αcs β+sin αcs β=916.
又sin α=cs β,cs α=sin β,
∴sin2β-(cs αcs β+sin αsin β)+cs2β=916,
∴cs(α-β)=1-916=716.
思路探究 利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.平时学习中要学会积累恒等变形的经验.
17.解析 (1)f(x)=2cs xsinx-π3+3sin2x+sin xcs x
=2cs x12sinx-32csx+3sin2x+sin xcs x
=sin 2x-3cs 2x=2sin2x-π3,
故f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,可得函数的单调递增区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z.
又x∈[0,π],所以函数的单调递增区间为0,5π12,11π12,π,单调递减区间为5π12,11π12.
课时5.5.2 三角恒等变换(2)—简单的三角恒等变换
1.能用二倍角公式导出半角公式,并能进行简单的应用.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.
3.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用.
4.体会三角恒等变换中的基本思想方法,加强逻辑推理和数学运算能力的培养.
基础过关练
题组一 三角函数式的求值问题
1.若cs 2α=-45,且α∈π2,π,则sin α= ( )
A.31010B.1010C.35 D.-1010
2.cs20°cs35°1-sin20°= ( )
A.1B.2C.2D.3
3.已知sinα2-csα2=-15,450°<α<540°,则tanα2的值为 .
4.已知cs(π-α)=223,α∈(-π,0).
(1)求sin α的值;
(2)求cs2π4-α2+sin3π+α2sin3π2-α2的值.
5.已知α为钝角,β为锐角,且sin α=45,sin β=1213,求csα-β2与tanα-β2的值.
题组二 三角函数式的化简与证明问题
6.化简1+sin2的结果是 .
7.已知2cs2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0,b∈R),则A= ,b= .
8.化简(1+sinα+csα)sinα2-csα22+2csα= (其中180°<α<360°).
9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,sin Acs2C2+sin Ccs2A2=32sin B,求证:sin A+sin C=2sin B.
题组三 三角恒等变换的综合应用
10.函数y=sinx1+csx的最小正周期等于 ( )
A.π2B.πC.2πD.3π
11.函数y=12sin 2x+sin2x的值域是 ( )
A.-12,32B.-32,12
C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12
12.函数y=sinx-π6cs x的最大值为 ( )
A.12B.14C.1D.22
13.在△ABC中,若sin Asin B=cs2C2,则△ABC是 ( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
14.已知函数f(x)=sin2x-π6+2cs2x-1.
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的集合;
(2)若α∈π4,π2,且f(α)=45,求cs 2α的值.
能力提升练
题组一 三角函数式的求值问题
1.已知sinα-2csαsinα+csα=2,则sin 2α= ( )
A.917B.-917C.817D.-817
2.已知tan α=2,则tanα-π4+tan 2α= ( )
A.-1B.1C.53D.1715
3.已知α为第三象限角,且sin α+cs α=2m,sin 2α=m2,则m的值为(深度解析)
A.33B.-33C.-13D.-23
4.(多选)下列各式中,值为12的是 ( )
A.tan22.5°1-tan222.5°B.tan 15°cs215°
C.33cs2π12-33sin2π12D.1-cs60°2
5.设α∈0,π3,已知6sin α+2cs α=3.
(1)求tanα+π6的值;
(2)求cs2α+7π12的值.
6.已知α∈π2,π,且cs α=-35.
(1)求tan α的值;
(2)求cs2αsin2α+1的值.
7.设α,β∈(0,π),且sin(α+β)=513,tanα2+π4=3.
(1)求cs α的值;
(2)求cs β的值.
8.在①tan α=43,②7sin 2α=2sin α,③csα2=277这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解决问题.
已知α∈0,π2,β∈0,π2,cs(α+β)=-13, ,求cs β.
题组二 三角函数式的化简与证明问题
9.若π2<θ<π,则1-sinθ-12(1-csθ)= ( )
A.2sinθ2-csθ2B.csθ2-2sinθ2
C.csθ2D.-csθ2
10.(多选)下列各式与tan α相等的是 ( )
A.1-cs2α1+cs2α
B.sinα1+csα
C.1+cs(π+2α)2·1csα(α∈(0,π))
D.1-cs2αsin2α
11.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cs215°+cs215°-3sin 15°sin 15°;
cs280°+cs2(-50°)-3sin 80°sin(-50°);
cs2170°+cs2(-140°)-3sin 170°sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
题组三 三角恒等变换的综合应用
12.已知函数f(x)=sin x+acs x(a∈R)图象的一条对称轴是直线x=π6,则a的值为 ( )
A.5B.5C.3D.3
13.下列函数中,以π2为最小正周期的偶函数是 ( )
A.y=sin 2x+cs 2xB.y=sin 2xcs 2x
C.y=cs4x+π2D.y=sin22x-cs22x
14.已知A是函数f(x)=2sin2 018x+π4+cs2 018x-π4的最大值,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为 ( )
A.11 009B.π1 009
C.3π2 018D.2π1 009
15.(多选)已知函数f(x)=cs 2x-23sin xcs x,则下列结论中正确的是 ( )
A.存在x1,x2,当x1-x2=π时,f(x1)=f(x2)成立
B.f(x)在区间-π6,π3上单调递增
C.函数f(x)的图象关于点π12,0对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=5π12对称
16.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16,则cs(α-β)= .
17. 已知函数f(x)=2cs xsinx-π3+3sin2x+sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[0,π]上的单调性.
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为α∈π2,π,所以sin α>0,由半角公式可得sin α=1-cs2α2=31010.
2.C 原式=cs210°-sin210°cs35°(cs10°-sin10°)=cs10°+sin10°cs35°=2cs35°cs35°=2.
3.答案 2
解析 由题意得sinα2-csα22=15,即1-sin α=15,∴sin α=45.
∵450°<α<540°,
∴cs α=-35,
∴tanα2=1-csαsinα=1--3545=2.
4.解析 (1)∵cs(π-α)=-cs α=223,
∴cs α=-223.
又∵α∈(-π,0),∴sin α=-1-cs2α=-13.
(2)cs2π4-α2+sin3π+α2·sin3π2-α2=121+cs π2-α+-sinα2·-csα2=12+12sin α+sinα2·csα2=12+12sin α+12sin α=12+sin α=12+-13=16.
5.解析 因为α为钝角,β为锐角,sin α=45,sin β=1213,
所以cs α=-35,cs β=513.
所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=-35×513+45×1213=3365.
因为π2<α<π,且0<β<π2,所以0<α-β<π.
解法一:由0<α-β<π可得,0<α-β2<π2,
所以csα-β2=1+cs(α-β)2=1+33652
=76565,
sinα-β2=1-cs2α-β2=46565.
所以tanα-β2=sinα-β2csα-β2=47.
解法二:同解法一,求得cs α-β2=76565.
由0<α-β<π,cs(α-β)=3365,得
sin(α-β)=1-cs2(α-β)=5665.
所以tanα-β2=sin(α-β)1+cs(α-β)=56651+3365=47.
6.答案 sin 1+cs 1
解析 1+sin2
=sin21+cs21+2sin1cs1
=(sin1+cs1)2
=|sin 1+cs 1|.
因为1∈0,π2,所以sin 1>0,cs 1>0,
则1+sin2=sin 1+cs 1.
7.答案 2;1
解析 2cs2x+sin 2x=cs 2x+sin 2x+1=2sin2x+π4+1,∴A=2,b=1.
8.答案 cs α
解析 原式=
2cs2α2+2sinα2csα2sinα2-csα24cs2α2
=2csα2csα2+sinα2sinα2-csα22csα2
=csα2sin2α2-cs2α2csα2
=-csα2csαcsα2.
因为180°<α<360°,所以90°<α2<180°,
所以csα2<0,所以原式=cs α.
9.证明 由sin Acs2C2+sin Ccs2A2=32sin B,
得sin A·1+csC2+sin C·1+csA2=32·sin B,
即sin A+sin C+sin Acs C+cs Asin C=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(π-B)=3sin B,
即sin A+sin C+sin B=3sin B,
∴sin A+sin C=2sin B.
10.C 由y=2sinx2csx22cs2x2=tanx2,得最小正周期T=π12=2π.
11.C y=12sin 2x+sin2x=12sin 2x+1-cs2x2=12+22sin2x-π4,
∴函数的值域为12-22,12+22.
12.B y=sinx-π6cs x
=sin xcs π6cs x-cs xsin π6cs x
=32sin xcs x-12cs2x
=34sin 2x-12·1+cs2x2
=34sin 2x-14-14cs 2x
=12sin2x-π6-14,
∴ymax=12-14=14.
13.B sin Asin B=cs2C2=12(1+cs C),即
2sin Asin B=1+cs C=1-cs(A+B),
∴2sin Asin B=1-cs Acs B+sin Asin B,变形得cs(A-B)=1,
又因为A-B∈(-π,π),∴A-B=0,即A=B,不能说明△ABC是直角三角形或等边三角形,则△ABC是等腰三角形.
14.解析 (1)f(x)=sin2x-π6+2cs2x-1
=sin 2xcsπ6-cs 2xsinπ6+cs 2x
=32sin 2x+12cs 2x=sin2x+π6.
所以当2x+π6=2kπ+π2,k∈Z,即x=kπ+π6,k∈Z时, f(x)max=1,
相应x的取值集合为xx=kπ+π6,k∈Z.
(2)由(1)知f(α)=sin2α+π6=45.
由π4<α<π2,得2π3<2α+π6<7π6,
所以cs2α+π6=-35.
因此cs 2α=cs2α+π6-π6
=cs 2α+π6csπ6+sin2α+π6·sinπ6
=-35×32+45×12=-33+410.
能力提升练
1.D 由sinα-2csαsinα+csα=2,可得tanα-2tanα+1=2,即tan α=-4,
所以sin 2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=-817.
2.A tanα-π4+tan 2α=tanα-11+tanα+2tanα1-tan2α=2-11+2+2×21-4=13-43=-1,故选A.
3.B 依题意得sin 2α=2sin αcs α=m2,
又(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α=1+m2=4m2,∴m2=13.
由α是第三象限角知,sin α+cs α=2m<0,
∴m=-33,故选B.
解题模板 利用sin α+cs α与sin αcs α的关系列等式,解方程求m的值,解题时要运用角的范围确定m的符号,防止符号错误导致结论错误.
4.ACD A符合,原式=12×2tan22.5°1-tan222.5°=12tan 45°=12;B不符合,原式=sin 15°·cs 15°=12sin 30°=14;C符合,原式=33csπ6=12;D符合,原式=sin 30°=12.故选ACD.
5.解析 (1)因为6sin α+2cs α=3,
所以sinα+π6=64.
因为α∈0,π3,所以α+π6∈π6,π2,所以csα+π6=104.
所以tanα+π6=155.
(2)cs2α+π3=2cs2α+π6-1=2×1042-1=14.
因为α∈0,π3,所以2α+π3∈π3,π,所以sin2α+π3=154,
所以cs2α+7π12=cs2α+π3+π4
=cs2α+π3csπ4-sin2α+π3·sinπ4=14×22-154×22=2-308.
6.解析 因为α∈π2,π,cs α=-35,
所以sin α=1-cs2α=1--352=45,所以tan α=sinαcsα=-43.
(2)由(1)知sin α=45,所以sin 2α=2sin αcs α=2×45×-35=-2425,
cs 2α=2cs2α-1=2×-352-1=-725,
因此cs2αsin2α+1=-725-2425+1=-7.
7.解析 (1)解法一:tanα2=tanα2+π4-π4=tanα2+π4-tanπ41+tanα2+π4tanπ4=12,
∴cs α=cs2α2-sin2α2
=cs2α2-sin2α2cs2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-1221+122=35.
解法二:令θ=α2+π4,则tan θ=3.
cs α=sinα+π2=sin 2θ=2sin θcs θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×332+1=35.
(2)∵α∈(0,π),∴sin α>0,
∴sin α=1-cs2α=45.
∵sin(α+β)=513,且513<45,∴sin(α+β)
∴α+β<α,即β<0,这与β∈(0,π)矛盾,
∴α+β∈π2,3π2,
∴cs(α+β)=-1-sin2(α+β)=-1213.
∴cs β=cs(α+β-α)=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α=-1213×35+513×45=-1665.
8.解析 方案一:选条件①.
解法一:因为tan α=43,所以sinαcsα=43.
则sinα=43csα,sin2α+cs2α=1,
解得sinα=437,csα=17或sinα=-437,csα=-17.
因为α∈0,π2,所以sinα=437,csα=17.
因为cs(α+β)=-13,且sin2(α+β)+cs2(α+β)=1,
所以sin2(α+β)=89.
因为α∈0,π2,β∈0,π2,
所以0<α+β<π,
所以sin(α+β)=223.
所以cs β=cs[(α+β)-α]
=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α
=-13×17+223×437
=86-121.
解法二:因为α∈0,π2,tan α=43,
所以点P(1,43)在角α的终边上,
所以cs α=112+(43)2=17,
sin α=4312+(43)2=437.
以下同解法一.
方案二:选条件②.
因为7sin 2α=2sin α,
所以14sin αcs α=2sin α.
因为α∈0,π2,所以sin α≠0 ,
所以cs α=17.
又因为sin2α+cs2α=1,所以sin2α=4849.
因为α∈0,π2,所以sin α=437.
以下同方案一的解法一.
方案三:选条件③.
因为csα2=277,所以cs α=2cs2α2-1=17.
由sin2α+cs2α=1,得sin2α=4849.
因为α∈0,π2,所以sin α=437.
以下同方案一的解法一.
9.D ∵π2<θ<π,∴π4<θ2<π2,∴sinθ2>csθ2>0.
∵1-sin θ=sin2θ2+cs2θ2-2sinθ2csθ2=sinθ2-csθ22,12(1-cs θ)=sin2θ2,
∴1-sinθ-12(1-csθ)
=sinθ2-csθ22-sin2θ2
=sinθ2-csθ2-sinθ2
=-csθ2.
10.CD A不符合,1-cs2α1+cs2α=2sin2α2cs2α=tan2α=|tan α|;B不符合,sinα1+csα=2sinα2csα22cs2α2=tanα2;C符合,因为α∈(0,π),所以原式=1-cs2α2·1csα=sinαcsα=tan α;D符合,1-cs2αsin2α=2sin2α2sinαcsα=tan α.故选CD.
11.解析 (1)cs215°+cs215°-3sin 15°·sin 15°
=2cs215°-3sin215°
=1+cs 30°-32(1-cs 30°)
=1+32-32×1-32=74.
(2)推广:当α+β=30°时,cs2α+cs2β-3sin αsin β=74.
证明:∵α+β=30°,∴β=30°-α,
cs2α+cs2β-3sin αsin β
=cs2α+cs2(30°-α)-3sin αsin(30°-α)
=cs2α+32csα+12sinα2-3sin α·12csα-32sinα
=cs2α+34cs2α+32cs αsin α+14sin2α-32cs αsin α+32sin2α
=74cs2α+74sin2α=74.
12.D 函数f(x)=sin x+acs x=a2+1sin(x+θ),其中tan θ=a,θ∈-π2,π2,
其图象关于直线x=π6对称,所以θ+π6=π2,解得θ=π3,所以tan θ=a=3,故选D.
13.D 选项A中,y=2sin2x+π4,最小正周期为π,故A错误;选项B中,y=12sin 4x,最小正周期为π2,是奇函数,故B错误;选项C中,y=-sin 4x,最小正周期为π2,是奇函数,故C错误;选项D中,y=-cs 4x,最小正周期为π2,是偶函数,故选D.
14.C ∵f(x)=2sin2 018x+π4+cs2 018x-π4
=2sin 2 018x+2cs 2 018x+22·cs 2 018x+22sin 2 018x
=322cs2 018x+22sin2 018x
=3sin2 018x+π4,
∴A=f(x)max=3,周期T=2π2 018=π1 009,
又存在实数x1,x2,对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,
∴f(x2)=f(x)max=3,f(x1)=f(x)min=-3,
|x1-x2|的最小值为12T=π2 018,又A=3,
∴A·|x1-x2|的最小值为3π2 018.故选C.
15.AC 易知f(x)=2sinπ6-2x=2sin2x+5π6,∴f(x)的最小正周期T=π,A正确;令-π2+2kπ≤2x+5π6≤π2+2kπ(k∈Z),得-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为-2π3+kπ,-π6+kπ(k∈Z),B错误;
∵对称中心的横坐标满足2x+5π6=kπ(k∈Z),∴x=kπ2-5π12(k∈Z),当k=1时,x=π12,C正确; f5π12=2sin2×5π12+5π6=-3≠±2,D错误.故选AC.
16.答案 716
解析 设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.
因此4cs α-4sin α=3⇒cs α-sin α=34,①
4sin β-4cs β=3⇒sin β-cs β=34.②
①×②,得sin βcs α-sin βsin α-cs αcs β+sin αcs β=916.
又sin α=cs β,cs α=sin β,
∴sin2β-(cs αcs β+sin αsin β)+cs2β=916,
∴cs(α-β)=1-916=716.
思路探究 利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.平时学习中要学会积累恒等变形的经验.
17.解析 (1)f(x)=2cs xsinx-π3+3sin2x+sin xcs x
=2cs x12sinx-32csx+3sin2x+sin xcs x
=sin 2x-3cs 2x=2sin2x-π3,
故f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,可得函数的单调递增区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z.
又x∈[0,π],所以函数的单调递增区间为0,5π12,11π12,π,单调递减区间为5π12,11π12.
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