高中数学2.1.2指数函数及其性质精品教案设计

2.1.2  指数函数及其性质

（第一课时）

教学目标：1、理解指数函数的概念

          2、根据图象分析指数函数的性质

          3、应用指数函数的单调性比较幂的大小

教学重点：指数函数的图象和性质

教学难点：底数a对函数值变化的影响

教学方法：学导式

（一）复习：（提问）

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：．

这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。

 （二）新课讲解：

1．指数函数定义：

一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．

练习：判断下列函数是否为指数函数。

①   ②        ③（且）④

 ⑤   ⑥    ⑦       ⑧．

2.指数函数（且）的图象：

例1．画的图象（图（1））．

解：列出的对应表，用描点法画出图象

例2．画的图象（图（1））．

指出函数与图象间的关系？

说明：一般地， 函数与的图象关于轴对称。

3．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：

   例3．已知指数函数的图象经过点，求的值（教材第66页例6）。

   例4．比较下列各题中两个值的大小：

   ；                     

（教材第66页例7）

小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；

练习：教材第68页练习1、3题。

作业：教材第69页习题2。1A组题  第6、7、8题 

2.1.2  指数函数及其性质（第二课时）

教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；

2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；

3.掌握比较同底数幂大小的方法；

4. 培养学生数学应用意识。

教学重点：指数函数性质的运用

教学难点：指数函数性质的运用

教学方法：学导式

（一）复习：（提问）

1．指数函数的概念、图象、性质

2．练习：

（1）说明函数图象与函数图象的关系；

（2）将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是          ；

（3）画出函数的草图。

（二）新课讲解：

例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

分析：通过恰当假设，将剩留量表示成经过年数的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。

解：设这种物质量初的质量是1，经过年，剩留量是.

经过1年，剩留量=1×84%=0.841；

经过2年，剩留量=1×84%=0.842；

……

一般地，经过x年，剩留量，

根据这个函数关系式可以列表如下：

用描点法画出指数函数的图象。从图上看出，只需.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2． 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：

（1）；           （2）．

解：（1）比较函数与的关系：

与相等，   

 与相等，

与相等 ，

           ……

由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。

（2）比较函数与的关系：

与相等，       

   与相等，

与相等 ，               ……

由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。

说明：一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象。

练习：说出下列函数图象之间的关系：

（1）与； （2）与；（3）与．

例3．求下列函数的定义域、值域：

（1）    （2）    （3）    （4）．

解：（1）   ∴   原函数的定义域是，

    令 则

   ∴得，

所以，原函数的值域是．

（2）   ∴   原函数的定义域是，

     令  则， 在是增函数    ∴，

    所以，原函数的值域是．

（3）原函数的定义域是，

令   则， 在是增函数，  ∴，

所以，原函数的值域是．

（4）原函数的定义域是，

由得，

    ∴，     ∴，所以，原函数的值域是．

说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；

      2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。

3．了解函数与及函数与图象间的关系。

作业：习题2.1   第3，5，6题

2.1.2  指数函数及其性质（第三课时）

教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；

2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；

3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法

教学难点：指数函数性质的运用

教学方法：学导式

（一）复习：（提问）

1.指数函数的图象及性质

2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断

3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：

（1）考查函数定义域是否关于原点对称；

（2）比较与或者的关系；

（3）根据函数奇偶性定义得出结论。

（二）新课讲解：

例1．当时，证明函数 是奇函数。

证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。

∴，所以，函数 是奇函数。

评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。

例2．设是实数，，

（1）试证明：对于任意在为增函数；

（2）试确定的值，使为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。

（1）证明：设，则

，

由于指数函数在上是增函数，且，所以即，

又由，得，，所以，即．

因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。

（2）解：若为奇函数，则，

即，变形得：，

解得：，所以，当时, 为奇函数。

评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。

练习：（1）已知函数为偶函数，当时，,求当时，的解析式。

（2）判断的单调区间。

小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。

作业：（补充）

1．已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求证函数在上是增函数。

2．函数的单调递减区间是             ．

3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式。