高中数学人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第1课时导学案

2．1.2　指数函数及其性质

第1课时　指数函数的图象及性质

授课提示：对应学生用书第38页

[基础认识]

知识点一　指数函数的定义

　观察下列从数集A到数集B的对应：

①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；

②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝x.

(1)这两个对应能构成函数吗？

提示：能．

(2)这两个函数有什么特点？

提示：底数是常数，指数是自变量．　　　

　知识梳理　一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

思考：指数函数的定义中为什么规定a>0且a≠1?

提示：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因

(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．

(2)如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，在实数范围内函数值不存在．

(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.

知识点二　指数函数的图象与性质

　(1)试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝x(x∈R)的图象．

提示：如图所示：

(2)两函数图象有无交点？

提示：有交点，其坐标为(0,1)．

(3)两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？

提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝x是减函数．　　　

　知识梳理　

[自我检测]

1．下列函数中是指数函数的是(　　)

A．y＝5x＋1　　　　　　 B．y＝x4

C．y＝3－x  D．y＝2·3x

解析：形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数是指数函数．只有C选项符合，故选C.

答案：C

2．函数y＝ax－1(a>0且a≠1)的图象一定过点__________．

解析：当x－1＝0，即x＝1时，y＝1，

∴图象一定过点(1,1)．

答案：(1,1)

3．已知函数y＝(a－1)x是指数函数，且当x<0时，y>1，则实数a的取值范围是__________．

解析：∵x<0时y>1，∴0<a－1<1即1<a<2.

答案：(1,2)

授课提示：对应学生用书第39页

探究一　指数函数的概念

[例1]　下列函数中，哪些是指数函数？

(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)．

[解析]　(1)y＝10x符合定义，是指数函数；

(2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数；

(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；

(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数；

(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．

方法技巧　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)解析式的结构特征：

(1)底数：大于零且不等于1的常数；

(2)指数：系数为1的一次单项式x；

(3)系数：ax的系数为1.

跟踪探究　1.若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝__________.

解析：由题意可知

解得

故a＝2.

答案：2

探究二　指数函数的图象

[例2]　(1)函数y＝3－x的图象是(　　)

(2)函数y＝ax－1－3(a＞0)的图象恒过定点坐标是(　　)

A．(1，－3)　　　　　　 B．(1，－2)

C．(2，－3)  D．(2，－2)

[解析]　(1)y＝3－x即y＝x，在(－∞，＋∞)上是减函数，且过定点(0,1)，故选B.

(2)令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2，

∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．故选B.

[答案]　(1)B　(2)B

方法技巧　1.可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题．

2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．

(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小．

(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．

(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d＜c＜1＜b＜a.

跟踪探究　2.已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．

答案：A

探究三　指数函数的定义域、值域问题

[例3]　求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.

[解析]　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，

所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．

(2)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，

所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．

因为x＝0，所以y＝＝0＝1，

即函数y＝的值域为{y|y＝1}．

(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，

即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．

延伸探究　1.若本例(1)的函数换为“y＝”，求其定义域．

解析：由x－1≥0得x≥0，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．

2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．

解析：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，

∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.

令2x＝t，则t∈[1,4]，

且f(t)＝(t＋1)2＋1，

易知f(t)在[1,4]上单调递增，

∴f(1)≤f(t)≤f(4)，

即5≤f(t)≤26，

即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．

方法技巧　求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其他函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．

授课提示：对应学生用书第40页

[课后小结]

1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式．

2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性取决于底数a，分底数a＞1,0＜a＜1两种情况．

3．由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．

4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：

(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；

(2)求t＝f(x)的值域t∈M；

(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．

[素养培优]

　换元时忽略中间变量的范围导致错误

求函数y＝x＋x＋1的值域．

易错分析：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，

当t＝－时，ymin＝，

即函数的值域是.

自我纠正：令t＝x，t∈(0，＋∞)，

则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.

因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，

所以y＞2＋＝1，

即原函数的值域是(1，＋∞)．