中考数学 专项训练 考点16 动点在直角三角中的分类讨论(能力)

专题16 动点在直角三角中的分类讨论

1、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．

（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；

（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；

（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．

图1

思路点拨

1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．

2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．

3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．

满分解答

（1）如图2，由CE//AB，得．

图2

由于△CEF与△CAF是同高三角形，

所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．

（2）如图3，延长AG交射线CD于M．                    

由CM//AB，得．所以CM＝2AB＝26．[来源:学科网ZXXK]

由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．

又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．

所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．

图3                             图4

（3）在Rt△ABC中， AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．

①如图 4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．

所以G是EN的中点．

所以G是BC的中点，BG＝6．

②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得．

由CE//AB，得．

所以．又因为∠AFG＝∠BFA，所以△AFG∽△BFA．

所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．

作GH⊥AH，那么BH＝AH＝．

在Rt△GBH中，由cos∠B＝，得BG＝÷＝．

图5                                图6

2、如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．

2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．

3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．

满分解答

（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．

（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，

得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m．

所以点D的坐标为(2m,－3)．

设点E的坐标为(x, a(x＋m)(x－3m))．

如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．

由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．

所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m．

当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m, 5)．

所以．

图2                                 图3

（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，

可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．

那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．

证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．

因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．

此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m, 0)．

3、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．

（2）直线DB的解析式为．

由点P的坐标为(m, 0)，可得，．

所以MQ＝．

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．

解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．

所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

所以四边形CQBM是平行四边形．

图2                                    图3

（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

4、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图1

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．

2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

（1）由，

得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．

所以，点D的坐标为．

因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．

图2                            图3

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．

以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．

联结GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．

所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为．

根据对称性，直线l还可以是．

5、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

思路点拨

1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题目中的k都是一致的．

2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．

3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．[来源:学+科+网]

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．

当k＝－2时，反比例函数的解析式是．

（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．

当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．

抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线．                                                       

所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．

（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，

当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

由OQ2＝OA2，得．

解得（如图2），（如图3）．

图2                                 图3

6、设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．

（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．

答案

（1）直线①和③是点C的直角线．[来源:学。科。网Z。X。X。K]

（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．

如图2，当OP＝6时，l1：， l2：y＝－2x＋6．

如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：．[来源:Zxxk.Com]

图2                   图3

7、在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1

思路点拨

1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．

2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．

3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．

4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．

满分解答

(1) 因为抛物线经过原点，所以． 解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．

(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．

②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．

如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．

如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．

图1                      图2                      图3

8、如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面积？

图1

思路点拨

1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．

2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．

3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．

满分解答

（1）在△ABC中，，，，所以  解得．

（2）①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．

②若AB为斜边，则，解得，满足．

③若BC为斜边，则，解得，满足．

因此当或时，△ABC是直角三角形．

（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．

①如图2，若点D在线段AB上，则．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得

所以（）．

当时（满足），取最大值，从而S取最大值．

图2                                       图3

②如图3，若点D在线段MA上，则．

同理可得，（）．

易知此时．

综合①②得，△ABC的最大面积为．