高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质优秀同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质优秀同步练习题，共6页。试卷主要包含了双曲线C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1. （2020·安徽无为中学高二期末）设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）


A．4B．3C．2D．1


【答案】C


【解析】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C．


2．（2020山东泰安一中高二月考）若双曲线的焦距等于10，则实数m的值等于（ ）


A．20B．C．D．


【答案】C


【解析】当时，方程化为，双曲线的焦点在x轴上，则，依题意有，解得；当时，方程化为，双曲线的焦点在y轴上，则，依题意有，解得.综上，.故选：C


3．若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是( )


A．4B．2


C．1D．－2


【答案】A


【解析】在中，，当或时，均只有一个交点，


当时，有两个交点，当时，无交点．故选A.


4.（2020大连二四中高二月考）我们把方程分别为x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的双曲线称为共轭双曲线,





则共轭双曲线有相同的( )


A.离心率B.渐近线 C.焦点D.顶点


【答案】B


【解析】共轭双曲线x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的c=a2+b2,设a>0,b>0,可得它们的焦点分别为(±c,0),(0,±c),渐近线方程均为y=±bax,离心率分别为ca和cb,它们的顶点分别为(±a,0),(0,±b).


5．（多选题）（2020山西师大附中高二月考）已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则的大小可能是（ ）


A．B．C．D．


【答案】ABD


【解析】因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，即，因此两条渐近线的倾斜角分别为，当P在右支上时，的取值范围是，当P在左支上时，的取值范围是，因此结合选项知的大小不可能为，可能为.故选：ABD.


6. （多选题）（2020山东泰安实验中学高二月考）已知双曲线C过点(3,2)且渐近线方程为y=±33x,则下列结论正确的是( )


A.C的方程为x23-y2=1 B.C的离心率为3


C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点


【答案】AC


【解析】若焦点在x轴上,可设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1,根据条件可知ba=33,所以方程可化为x23b2-y2b2=1,将点(3,2)代入得b2=1,所以a2=3,所以双曲线C的方程为x23-y2=1;若焦点在y轴上,可设双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1,根据条件可知ab=33,所以方程可化为y2a2-x23a2=1,将点(3,2)代入得a2=-1(舍去).综上C的方程为x23-y2=1,故A正确;离心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233,故B错误;双曲线C的焦点为(2,0),(-2,0),将x=2代入得y=e0-1=0,所以C正确;联立x23-y2=1,x-2y-1=0,整理得y2-22y+2=0,则Δ=8-8=0,故只有一个公共点,故D错误.


二、填空题


7．（2020·全国高二课时练）已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.


【答案】6


【解析】结合题意，绘制图像：





根据双曲线的性质可知，得到，所以


，而，所以


，所以最小值为6.


8．（2020·全国高二课时练）已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A，B两点，且为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为________.


【答案】9


【解析】由题意知.又，所以.


根据双曲线的定义可知，


所以，即，所以.


9.(2019全国高考)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若





|PO|=|PF|,则△PFO的面积为__________.


【答案】324


【解析】由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,∴F(6,0).


∵|PO|=|PF|,∴xP=62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,∴yP=22×62=32.


∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×6×32=324.


10.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若F1A=AB,F1B·F2B=0,则双曲线C的渐近线方程为 .





【答案】y=±3x


【解析】如图,∵F1A=AB,F1B·F2B=0,∴OA为Rt△F1F2B的中位线,∴OA⊥F1B.


又∵OA所在直线斜率为-ba,∴F1B所在直线方程为y=ab(x+c),


联立y=ab(x+c),y=bax,解得Ba2cb2-a2,abcb2-a2,则|OB|2=a4c2(a2-b2)2+a2b2c2(a2-b2)2=c2,


整理得b2=3a2,∴ba=3,∴双曲线C的渐近线方程为y=±3x.


三、解答题


11.已知双曲线C的焦点F(3,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为3-2.


(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;


(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设λ=MP·MQ,求λ的取值范围.


【解析】 (1)∵双曲线C的焦点F(3,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为3-2,


可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,


∴c=3,c-a=3-2,∴a=2,


∴b2=c2-a2=(3)2-(2)2=1,


则双曲线的方程为x22-y2=1,


令x22-y2=0,则y=±22x, 即渐近线方程为y=±22x.


(2)设P的坐标为(x0,y0), 则Q的坐标为(-x0,-y0),


∴λ=MP·MQ=(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=-x02-y02+1=-32x02+2.


∵|x0|≥2,∴λ的取值范围是(-∞,-1].


12．（2020·全国高二课时练）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．


(1)求双曲线的标准方程；


(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．


【解析】 (1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，


故设双曲线方程为，


则有解得a2＝3，b2＝2.


所以双曲线的标准方程为.


(2)不妨设M点在右支上，


则有|MF1|－|MF2|＝2 ，又|MF1|＋|MF2|＝6，


故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，


因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而


cs ∠MF2F1＝ ，


所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．