高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质优秀导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质优秀导学案，共13页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。




1.掌握双曲线的简单几何性质.


2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.





重点：双曲线的简单几何性质


难点：运用方程推出双曲线的相关几何性质





知识梳理


双曲线的几何性质





(1)双曲线与椭圆的六个不同点:


(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为2 .


(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.


1.判断


(1)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的形状相同. ( )


(2)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同. ( )


(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ( )


2.圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,则实数m的值为( )


A.-5 B.-35 C.19 D.-11








创设问题情境


已知双曲线C的方程为x2-y24=1,根据这个方程完成下列任务：


（1）已观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面


直角坐标系中的位置特征；


（2）指出双曲线C是否关于x轴、 y轴、原点对称；


（3）指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；


（4）如果（ x ， y ）满足双曲线C的方程,说出当x增大时，y怎样变化，


并指出反应了双曲线的形状具有什么特点.





一般地，如果双曲线C的标准方程是x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)，可得到双曲线的


几何性质为？


（1）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围；


（2）猜想双曲线离心率的大小与双曲线形状有什么联系，并尝试证明.





因为c>a>0,所以可以看出e>1，另外，注意到ba=c2-a2a=c2-a2a2 =e2-1


说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.


思考


(1)双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?


提示:双曲线的离心率e=ca反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.


(2)一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?


提示:1个.


如果双曲线C的标准方程是y2a2-x2b2=1 (a>0，b>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？


二、典例解析


例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、


渐近线方程.











由双曲线的方程研究其几何性质的注意点


(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.


(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.


(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.


跟踪训练1 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.








例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.


(1)过点P(3,-5),离心率为2;


(2)与椭圆x29+y24=1有公共焦点,且离心率e=52;


(3)与双曲线x29-y216=1有共同渐近线,且过点(-3,23).








1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.


2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧


(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).


(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).


(3)与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点的双曲线方程可设为x2a2-λ-y2b2+λ=1(λ≠0,-b2<λ

(4)与双曲线x2a2-y2b2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).


(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).


(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).





跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.


(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为53;


(2)过点(2,0),与双曲线y264-x216=1离心率相等.








1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为( )


A.4B.-4C.-14D.14


2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是 ( )


A.C的方程为x29-y216=1 B.C的离心率为54


C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2


3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 .


4.关于双曲线x29-y216=-1,有以下说法:


①实轴长为6;②双曲线的离心率是54;③焦点坐标为(±5,0);④渐近线方程是y=±43x;⑤焦点到渐近线的距离等于3.


正确的说法是 .(把所有正确说法的序号都填上)


5.已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(13,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .


6.已知双曲线C1:x2-y24=1.


(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,3)的双曲线C2的标准方程;


(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点,当OA·OB=3时,求实数m的值.

















参考答案：


知识梳理


1.答案:(1)√ (2)× (3)√


2.解析:由圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,


所以m<-8,∴e=9-8-m3=2,解得m=-35.


答案:B


学习过程


例1 解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为x29-y24=1,


即x232-y222=1,所以a=3,b=2,c=13.


因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),


焦点坐标为(-13,0),(13,0),


实轴长2a=6,虚轴长2b=4,


离心率e=ca=133,


渐近线方程为y=±bax=±23x.


跟踪训练1 解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)


化为标准方程为x2m-y2n=1(m>0,n>0),


由此可知,半实轴长a=m,


半虚轴长b=n,c=m+n,


焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),


离心率e=ca=m+nm=1+nm,


顶点坐标为(-m,0),(m,0),


所以渐近线方程为y=±nm x,即y=±mnmx.


例2 解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


∵e=2,∴c2a2=2,即a2=b2.①


又双曲线过P(3,-5),∴9a2-5b2=1,②


由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为x24-y24=1.


若双曲线的焦点在y轴上,


设其方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),


同理有a2=b2,③


5a2-9b2=1,④


由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为x24-y24=1.


(2)由椭圆方程x29+y24=1,知半焦距为9-4=5,


∴焦点是F1(-5,0),F2(5,0).


因此双曲线的焦点为(-5,0),(5,0).


设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


由已知条件,有ca=52,a2+b2=c2,c=5,解得a=2,b=1.


∴所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.


(3)设所求双曲线方程为x29-y216=λ(λ≠0),


将点(-3,23)代入得λ=14,


∴双曲线方程为x29-y216=14,


即双曲线的标准方程为x294-y24=1.


跟踪训练2 解:(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=ca=53,


从而b=4,c=53a, 代入c2=a2+b2,得a2=9,


故双曲线的标准方程为x29-y216=1.


(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,


故可设其方程为x264-y216=λ(λ>0),


将点(2,0)的坐标代入方程得λ=116,


故所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.


达标检测


1.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,


则双曲线方程可化为y2-x2-1m=1,


则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,


∴b=2,∴-1m=b2=4,∴m=-14,故选C.


答案:C


2.解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,


所以ba=43,因为c=5,所以b=4,a=3,


所以C的方程为x29-y216=1,A正确;


离心率为e=53,B不正确;


焦点到渐近线的距离为d=4×542+32=4,C不正确;


|PF|的最小值为c-a=2,D正确.


答案:AD


3.解析:令y=0,得x=-4,


∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),


∴c=4,a2=b2=12c2=12×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.


答案:x2-y2=8


4.解析:∵双曲线x29-y216=-1,


即y216-x29=1,∴a=4,b=3,c=9+16=5,


∴①实轴长为2a=8,故①错误;


②双曲线的离心率是e=ca=54,故②正确;


③焦点坐标为F(0,±5),故③错误;


④渐近线方程是y=±43x,故④正确;


⑤焦点到渐近线的距离为d=|0+15|9+16=3,故⑤正确.


答案:②④⑤


5.解析:根据题意,双曲线C:x24-y29=1的左焦点F(-13,0),所以点A(13,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12.


双曲线图像如图.





|PF|-|AP|=2a=4,①


|QF|-|QA|=2a=4,②


①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,


∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.


答案:32


6.解:(1)双曲线C1的焦点坐标为(5,0),(-5,0),


设双曲线C2的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


则a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a2=4,b2=1,


∴双曲线C2的标准方程为x24-y2=1.


(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,


由y=2x,y=x+m,可得x=m,y=2m,∴A(m,2m).


由y=-2x,y=x+m,可得x=-13m,y=23m,


∴B-13m,23m.


∴OA·OB=-13m2+43m2=m2.


∵OA·OB=3,


∴m2=3,即m=±3.


标准方程
图形
性


质
范围
x≤-a或x≥a y∈R
y≤-a或y≥a x∈R
对称性
对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;


虚轴:线段B1B2,长:2b;


半实轴长:a,半虚轴长:b
渐近线
y=±ba x
y=±ba x
离心率
a,b,c间的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

双曲线
椭圆
曲线
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e>1
0a,b,c关系
a2+b2=c2
a2-b2=c2