数学12.1 全等三角形课时练习

这是一份数学12.1 全等三角形课时练习，共33页。试卷主要包含了1全等三角形， 到三角形三边距离相等的点是，∴DE=AE等内容，欢迎下载使用。

12.1全等三角形


一．选择题


1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）


A．B．


C．D．


2．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（ ）





A．2B．3C．5D．7


3．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（ ）





A．150°B．120°C．90°D．60°


4．下列说法正确的是（ ）


A．相等的两个角是对顶角


B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补


C．若两个三角形全等，则它们的面积也相等


D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行


5．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）





A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED


6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，∠ABD＝39°，且∠CBD＝∠BCE，若△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点，则∠CBD的度数是（ ）





A．24°B．25°C．26°D．27°


7．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）


A．C．


8．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（ ）


①AC＝AF，


②∠FAB＝∠EAB，


③EF＝BC，


④∠EAB＝∠FAC，





A．①②B．①③④C．①②③④D．①③


9．如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）





A．AB∥DE，但AC不平行于DFB．BE＝EC＝CF


C．AC∥DF，但AB不平行于DED．AB∥DE，AC∥DF


10．图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的（ ）





A．点DB．点CC．点BD．点A


二．填空题


11．如图，△ACB≌△DCE，且∠BCE＝60°，则∠ACD的度数为 ．





12．如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD＝ °．





13．如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ．（填番号）





14．如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是 ．





15．如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ ．





三．解答题


16．如图，△ABC≌△DBC，∠A＝40°，∠ACD＝88°，求∠ABC的度数．





17．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．





18．已知：如图，△ABC≌△DEF，AM、DN分别是△ABC、△DEF的对应边上的高．求证：AM＝DN．





19．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．





（1）如图（1），当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；


（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．





参考答案与试题解析


一．选择题


1．【解答】解：A、两个图形属于全等形，故此选项符合题意；


B、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；


C、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；


D、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；


故选：A．


2．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，


∴EF＝BC＝7，


∵EC＝4，


∴CF＝3，


故选：B．


3．【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'，


∴∠C＝∠C′＝24°，


∵∠A＝36°，


∴∠B＝180°﹣24°﹣36°＝120°，


故选：B．


4．【解答】解：A、对顶角相等，故原题说法错误，故此选项不合题意；


B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原题说法错误，故此选项不合题意；


C、若两个三角形全等，则它们的面积也相等，故原题说法正确，故此选项符合题意；


D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误，故此选项不合题意；


故选：C．


5．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，


∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，


∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，


即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，


故选：B．


6．【解答】解：∵△AEC≌△ADB，


∴AC＝AB，


∴∠ABC＝∠ACB，


∵∠A＝50°，


∴∠ABC＝∠ACB＝65°，


又∵∠ABD＝39°，


∴∠CBD＝65°﹣39°＝26°，


故选：C．


7．【解答】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，﹣3）．


故选：D．





8．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，


∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，


∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，


∴∠EAB＝∠FAC，


正确的是①③④，


故选：B．


9．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，


∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，


∴AB∥DE，AC∥DF，


无法得出BE＝EC＝CF


故选项D正确．


故选：D．


10．【解答】解：观察图象可知△MNP≌△MFD．





故选：A．


二．填空题


11．【解答】解：∵△ACB≌△DCE，


∴∠ACB＝∠DCE，


∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，


即∠ACD＝∠BCE，


∵∠BCE＝60°，


∴∠ACD＝60°．


故答案为：60°．


12．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，


∴∠EAD＝∠CAB，


∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，


∴∠EAD＝∠CAB＝55°，


∴∠CFD＝∠FAB+∠B＝10°+55°+30°＝95°，


故答案为：95．


13．【解答】解：由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，


故答案为：②③．


14．【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，


∴∠D＝∠D′＝130°，


∴∠A＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，


故答案为：95°．


15．【解答】解：在△AEF和△LBA中


，


∴△AEF≌△LBA（SAS），


∴∠7＝∠EAF，


∴∠1+∠7＝90°，


同理可得∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，


而∠4＝45°，


∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．


故答案为315°．


三．解答题


16．【解答】解：∵△ABC≌△DBC，


∴∠ACB＝∠DCB，


∵∠ACD＝88°，


∴∠ACB＝44°，


∵∠A＝40°，


∴∠ABC＝180°﹣40°﹣44°＝96°．


17．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，


∴AC＝AD＝12，AE＝AF＝5，


∴DF＝12﹣5＝7．


18．【解答】证明：∵△ABC≌△DEF，


∴AB＝DE，∠B＝∠E，


∵AM，DN分别是△ABC，△DEF的对应边上的高，


即AM⊥BC，DN⊥EF，


∴∠AMB＝∠DNE＝90°，


在△ABM和△DEN中，


∴△ABM≌△DEN（AAS），


∴AM＝DN．


19．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，


若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，


此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，


移动的时间为：÷3＝秒，


②当点P在BA上时，如图①﹣2


若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝BC，即点P为BA中点，


此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，


移动的时间为：÷3＝秒，


故答案为：或；


（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；


①当点P在AC上，如图②﹣1所示：


此时，AP＝4，AQ＝5，


∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，


②当点P在AB上，如图②﹣2所示：


此时，AP＝4，AQ＝5，


即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，


∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，


综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，


点Q的运动速为cm/s或cm/s．














《12.2 三角形全等的判定》


一．选择题


1．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（ ）





A．AC＝CEB．∠BAC＝∠ECDC．∠ACB＝∠ECDD．∠B＝∠D


2．如图是两个全等三角形，则∠1＝（ ）





A．62°B．72°C．76°D．66°


3．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（ ）





A．BE＝ECB．BC＝EFC．AC＝DFD．△ABC≌△DEF


4．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）





A．带其中的任意两块去都可以


B．带1、2或2、3去就可以了


C．带1、4或3、4去就可以了


D．带1、4或2、4或3、4去均可


5．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H交BE于G．下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG．其中正确的个数是（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


6．如图△ABC与△BDE都是正三角形，且AB＜BD，若△ABC不动，将△BDE绕B点旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系是（ ）





A．AE＝CDB．AE＞CDC．AE＜CDD．无法确定


二．填空题


7．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ ．


8．如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是 （填上适当的一个条件即可）





9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是 ．





10．如图，在△ABC中，F、G是BC边上两点，使∠B、∠C的平分线BE、CD分别垂直AG，AF（E、D为垂足）．若△ABC的周长为22，BC边长为9，则DE的长为 ．





三．解答题


11．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．














12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）


（1）运动 秒时，AE＝DC；


（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；


（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝ （用含α的式子表示）．














13．已知如图，AC交BD于点O，AB＝DC，∠A＝∠D．


（1）请写出符合上述条件的五个结论（并且不再添加辅助线，对顶角除外）；


（2）从你写出的5个结论中，任选一个加以证明．














14．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．


（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；


（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；


（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画出图表示．














15．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．


（1）求证：△ABD≌△CED；


（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．














16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A点以a厘米/秒运动，设运动的时间为t秒，


（1）求CP的长；


（2）若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值．








参考答案


一．选择题


1．解：∵△ABC≌△CDE，AB＝CD


∴∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D


∴第三个选项∠ACB＝∠ECD是错的．


故选：C．


2．解：第一个图中，∠1＝180°﹣42°﹣62°＝76°，


∵两个三角形全等，


∴∠1＝76°，


故选：C．


3．解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF


∴Rt△ABC≌Rt△DEF


∴BC＝EF，AC＝DF


所以只有选项A是错误的，


故选：A．


4．解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，


带①、④可以用“角边角”确定三角形，


带②④可以延长还原出原三角形，


故选：D．


5．解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，


∴△BCD是等腰直角三角形．


∴BD＝CD．故①正确；


在Rt△DFB和Rt△DAC中，


∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，


∴∠DBF＝∠DCA．


又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，


∴△DFB≌△DAC．


∴BF＝AC；DF＝AD．


∵CD＝CF+DF，


∴AD+CF＝BD；故②正确；


在Rt△BEA和Rt△BEC中


∵BE平分∠ABC，


∴∠ABE＝∠CBE．


又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，


∴Rt△BEA≌Rt△BEC．


∴CE＝AE＝AC．


又由（1），知BF＝AC，


∴CE＝AC＝BF；故③正确；


连接CG．





∵△BCD是等腰直角三角形，


∴BD＝CD


又DH⊥BC，


∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG


在Rt△CEG中，


∵CG是斜边，CE是直角边，


∴CE＜CG．


∵CE＝AE，


∴AE＜BG．故④错误．


故选：C．


6．解：∵△ABC与△BDE都是正三角形，


∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE，


∴∠ABC+∠ABD＝∠DBE+∠ABD，


∴∠CBD＝∠ABE，


在△CBD和△ABE中





∴△CBD≌△ABE（SAS），


∴AE＝CD，


故选：A．


二．填空题


7．解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2


∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5


∴x+y＝11．


故答案为：11．


8．解：BC＝BD，


理由是：∵∠CBE＝∠DBE，∠CBE+∠ABC＝180°，∠DBE+∠ABD＝180°，


∴∠ABC＝∠ABD，


在△ABC和△ABD中





∴△ABC≌△ABD，


故答案为：BC＝BD．


9．解：∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，


∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，


∵∠ACB＝90°，


∴∠B＝90°﹣40°＝50°，


∵DE⊥AB，


∴∠DEB＝90°，


∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，


故答案为：40°．


10．解：∵BE平分∠ABC，


∴∠ABE＝∠GBE，


∵BE⊥AG，


∴∠AEB＝∠GEB＝90°，


∵BE＝BE，


∴△GEB≌△AEB，


∴AB＝BG，AE＝EG，


同理AC＝CF，AD＝DF，


∴DE＝FG，


∵FG＝BG+CF﹣BC，


＝AC+AB﹣BC，


＝（22﹣9）﹣9＝4，


∴DE＝2．


故答案为：2．


三．解答题


11．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，


∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，


∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，


∴∠ACB＝∠CED．


在△ABC和△CDE中，


，


∴△ABC≌△CDE（ASA），


∴AB＝CD．


12．解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，


∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，


∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），


解得t＝3，


故答案为：3；





（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，


∴12﹣2t＝8，


解得t＝2，


∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；





（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，


又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，


∴∠ADE＝∠B，


又∵∠BAC＝α，AB＝AC，


∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．


故答案为：90°﹣α．





13．解：（1）符合上述条件的五个结论为：△AOB≌△DOC，OA＝OD，OB＝OC，∠ABO＝∠DCO，∠OBC＝∠OCB．


（2）证明如下：


∵AB＝DC，∠A＝∠D，


又有∠AOB＝∠DOC


∴△AOB≌△DOC


∴OA＝OD，OB＝OC，∠ABO＝∠DCO


∵OB＝OC


∴∠OBC＝∠OCB．


14．（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，


由题意知，


在Rt△OEB和Rt△OFC中


，


∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），


∴∠ABC＝∠ACB，


∴AB＝AC；


（2）过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，


由题意知，OE＝OF．∠BEO＝∠CFO＝90°，


∵在Rt△OEB和Rt△OFC中


，


∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），


∴∠OBE＝∠OCF，


又∵OB＝OC，


∴∠OBC＝∠OCB，


∴∠ABC＝∠ACB，


∴AB＝AC；


（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB＝AC，否则AB≠AC．（如示例图）








15．（1）证明：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，


∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，


∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，


在△ABD与△CED中，，


∴△ABD≌△CED（SAS）；


（2）解：∵CE为∠ACD的角平分线，


∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°，


由（1）得：△ABD≌△CED，


∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，


∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．


16．解：（1）∵BP＝3t，BC＝8，


∴CP＝8﹣3t；





（2）①BD＝CP时，∵AB＝10，D为AB的中点，


∴5＝8﹣3t，


解得t＝1，


∵△BDP≌△CPQ，


∴BP＝CQ，


即3×1＝a，


解得a＝3；


②BP＝CP时，3t＝8﹣3t，


解得t＝，


∵△BDP≌△CQP，


∴BD＝CQ，


即5＝a×，


解得a＝，


综上所述，a的值为3或．








12.3 角平分线的性质


一、选择题


1. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )





A. 1 B. 2 C.eq \r(3) D. 4





2. 如图，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( )








3. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是( )





A．SAS B．AAA C．SSS D．HL





4. 到三角形三边距离相等的点是( )


A．三条中线的交点


B．三条高(或三条高所在直线)的交点


C．三边垂直平分线的交点


D．三条内角平分线的交点





5. 如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为( )





A．30° B．45° C．60° D．50°





6. 如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )





A．1 B．2 C．3 D．4





7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是( )





A．14 B．32 C．42 D．56








8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为( )





A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5





9. 如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是( )





A.点O在点A的南偏东60°方向上


B.点B在点A的北偏东30°方向上


C.点B在点O的北偏东60°方向上


D.点B在点O的北偏东30°方向上





10. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为( )





A．40° B．50° C．55° D．60°





二、填空题


11. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．








12. 将两块大小一样的含30°角的三角尺ABD和ABC如图所示叠放在一起，使它们的斜边AB重合，直角边不重合，当OD＝4 cm时，点O到AB的距离为________ cm.








13. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为 cm.








14. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．





15. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC=2，则S△ABC= .








三、解答题


16. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．




















17. 已知:如图12-3-12,∠AOC=∠BOC,点P在OC上, .


求证: .


请你补全已知和求证,并写出证明过程.




















18. 如图所示，BE＝CF，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，点B，C分别在AM，AN上，且BD＝CD，AD是∠BAC的平分线吗？为什么？




















19. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点D，M和点E，N，使OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.


求证:点C在∠AOB的平分线上.




















20. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.




















人教版 八年级数学 12.3 角平分线的性质 针对训练 -答案


一、选择题


1. 【答案】B 【解析】如解图，过点P作PG⊥OA于点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG＝PD＝2.





2. 【答案】D





3. 【答案】D





4. 【答案】D





5. 【答案】C [解析] ∵点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OC是∠AOB的平分线．


∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°.





6. 【答案】C [解析] 如图，过点P作PQ⊥AC于点Q，PW⊥BC于点W，PR⊥AB于点R.





∵△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，


∴PQ＝PW，PW＝PR.


∴PR＝PQ.


∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝3.


∴PR＝3，


则点P到AB的距离为3.





7. 【答案】B [解析] 如图，过点D作DH⊥AB于点H.


由作法得AP平分∠BAC.


∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4.


∴S△ABD＝eq \f(1,2)×16×4＝32.








8. 【答案】D [解析] 如图，过点D作DH⊥AC于点H.





又∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，


∴DF＝DH.


在Rt△ADF和Rt△ADH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AD，,DF＝DH，))


∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL)．


∴SRt△ADF＝SRt△ADH.


在Rt△DEF和Rt△DGH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DE＝DG，,DF＝DH，))


∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)．


∴SRt△DEF＝SRt△DGH.


∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，


∴35＋SRt△DEF＝60－SRt△DGH.∴SRt△DEF＝12.5.





9. 【答案】D [解析] 如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB= QUOTE ∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.








10. 【答案】B [解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.





∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，


∴FZ＝FW.同理FW＝FY.


∴FZ＝FY.


又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，


∴∠FCZ＝∠FCY.


由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.


∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.





二、填空题


11. 【答案】3 【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.








12. 【答案】4 [解析] 过点O作OH⊥AB于点H.


∵∠DAB＝60°，∠CAB＝30°，∴∠OAD＝∠OAH＝30°.


∵∠ODA＝90°，∴OD⊥AD.


又∵OH⊥AB，∴OH＝OD＝4 cm.





13. 【答案】12 [解析] 如图，连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，∴∠A=∠BDE=90°.


在Rt△DBE和Rt△ABE中，





∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm，∴DE=12 cm.





14. 【答案】4∶3 【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则eq \f(S△ABD,S△ACD)＝eq \f(\f(1,2)AB·h,\f(1,2)AC·h)＝eq \f(4,3).








15. 【答案】7 [解析] 过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴ QUOTE BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，


∴AC+AB=11-2=9.


∴S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC= QUOTE AC·PE+ QUOTE AB·PG-S△BPC= QUOTE ×9×2-2=7.





三、解答题


16. 【答案】


解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.





∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF.


∵AB＝20 m，AC＝10 m，


∴S△ABC＝eq \f(1,2)×20×10＝eq \f(1,2)×20·DE＋eq \f(1,2)×10·DF，解得DE＝eq \f(20,3)(m)．


∴△ACD的面积＝eq \f(1,2)×10×eq \f(20,3)＝eq \f(100,3)(m2)，


△ABD的面积＝eq \f(1,2)×20×eq \f(20,3)＝eq \f(200,3)(m2)．


故一串红的种植面积为eq \f(200,3) m2，鸡冠花的种植面积为eq \f(100,3) m2.





17. 【答案】


解:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E


PD=PE


证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,


∴∠PDO=∠PEO=90°.


在△PDO和△PEO中, QUOTE


∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.





18. 【答案】


解：AD是∠BAC的平分线．


理由：∵DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，


∴∠DEB＝∠DFC＝90°.


在Rt△DBE与Rt△DCF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BE＝CF，,BD＝CD，))


∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)．


∴DE＝DF.


又∵DE⊥AM，DF⊥AN，


∴AD是∠BAC的平分线．





19. 【答案】


证明:如图，过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F.





在△MOE和△NOD中，





∴△MOE≌△NOD(SAS).


∴S△MOE=S△NOD.


∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE，


即S△MDC=S△NEC.


由三角形面积公式得 QUOTE DM·CG= QUOTE EN·CF.


∵OM=ON，OD=OE，


∴DM=EN.∴CG=CF.


又∵CG⊥OA，CF⊥OB，


∴点C在∠AOB的平分线上.





20. 【答案】


证明：∵BD是∠ABC的平分线，


∴∠ABD＝∠CBD.


在△ABD和△CBD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CB，,∠ABD＝∠CBD，,BD＝BD，))


∴△ABD≌△CBD(SAS)．


∴∠ADB＝∠CDB.


∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，


∴PM＝PN.