专题05 不等式（选择题、填空题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题05 不等式（选择题、填空题）
一、单选题
1．（江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高一上学期检测（二））不等式（﹣x）（x﹣）＞0的解集为（　　）
A．{x|＜x＜} B．{x|x＞}
C．{x|x＜} D．{x|x＜或x＞}
【答案】A
【解析】不等式（﹣x）（x﹣）＞0可化为（x﹣）（x﹣）＜0；解得＜x＜；
∴原不等式的解集为{x|＜x＜}．故选A．
2．（四川省珙县中学校2020-2021学年高一下期数学第5月月考测试题）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由得：，
所以不等式的解集为：，故选A
3．（吉林省吉林市第二中学2020-2021学年高一上学期9月月考）已知集合，，则为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据集合的交集运算可得答案．
【解析】，
或，
所以或．故选A．
4．（安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文））如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（ ）
A．ac＜bc B．a﹣b＞0
C．a2＞b2 D．＜
【答案】C
【分析】对于选项，不一定小于零，所以不一定成立；对于选项，，所以一定不成立；对于选项，故a2＞b2，所以一定成立；对于选项，，所以一定不成立．
【解析】对于选项，不一定小于零，所以不一定成立；
对于选项，，所以一定不成立；
对于选项，，所以a2＞b2，所以一定成立；
对于选项，，所以，所以一定不成立．故选C．
5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三上学期第一次月考（文））设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用赋值法:令排除A，B，C，选D．
6．（吉林省长春外国语学校2020-2021学年高一上学期第一次月考）已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B．若a>－b，则c－a C．若a>b，cb2，则－a<－b
【答案】B
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项．
【解析】对于A选项，如，则，故A选项错误．
对于B选项，由于，所以，所以，故B选项正确．
对于C选项，如，则，所以C选项错误．
对于D选项，如，则，所以D选项错误．
综上所述，正确的命题为B．故选B
7．（江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高一上学期检测（二））若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为（ ）
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
【答案】A
【解析】因为2m＋n＝1，则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2．故选A．
8．（天津市实验中学2020-2021学年高一上学期第一次月考）已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B．
C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式，即可求得其最小值．
【解析】∵，
∴
，
当且仅当，即，时取等号．故选B
9．（天津市实验中学2020-2021学年高一上学期第一次月考）下列不等式中，正确的是（ ）
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
【答案】D
【解析】a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，
a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式得x2＋≥2可知D项正确．故选D．
10．（山东菏泽市东明县实验中学2020-2021学年高三第一次月考）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】B
【分析】列出处理成本函数，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量．
【解析】依题意，，记每吨细颗粒物的平均处理成本为，
则．
∵，当且仅当，即时取等号，
∴当时，取最小值，最小值为（元）．故选B．
11．（江西省上高二中2021届高三上学期第二次月考（理））已知正实数、满足，则最小值为（ ）
A． B．4
C． D．3
【答案】D
【解析】∵，则，于是整合得
，
当且仅当时取等号，于是的最小值为3．故选D．
12．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期开学考试（零诊模拟）（理））已知x，y满足不等式组，则的最大值为( )
A．2 B．
C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意，作出约束条件的可行域，如下图：

由可得，由图可知，当直线过可行域内的时，
直线在轴上的截距最大，即，的最大值为．故选D
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义，属于基础题．
13．（浙江省金色联盟（百校联考）2020-2021学年高三上学期9月联考）若实数，满足约束条件，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出二元一次不等式组表示的平面区域，等价于，表示斜率为的平行直线系，利用图象可求出纵截距的范围．
【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示

等价于，表示斜率为的平行直线系，由图可知，当目标直线与重合时，，则的取值范围是，故选A．
14．（辽宁省重点六校协作体2018-2019学年高三上学期期中考试（理））不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集．
【解析】不等式可化简为 且，
根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为，所以选A
15．（北京外国语大学附属苏州湾外国语学校2020-2021学年第一学期高二期中模拟）在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式对任意实数x恒成立，
则，即对任意实数x恒成立，
，解得．故选D．
16．（安徽省六安市霍邱县第二中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据关于的不等式的解集求得与的关系，再把关于的不等式化为，从而求出不等式的解集．
【解析】由的解集是知，且，即，
所以的解为，即，故选A
17．（四川省泸县第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税元(叫做税率)，则每年销售量将减少万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，的最小值为，选A．
18．（四川省珙县中学校2020-2021学年高一下期数学第5月月考测试题）若a，b是任意实数，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对A、 B 、D举反例即可判断，对于C，根据指数函数的单调性即可判断．
【解析】对于A：取，，但、无意义，故A不正确；
对于B：取，，，故B不正确；
对于C：取在上单调递减，若，则，故C正确；
对于D：取，，，故D不正确，故选C
19．（重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误．
【解析】对于A选项，若且，则，该选项错误；
对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误；对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；
对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选D．
20．（湖南省常德市一中2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知，则下列不等式中总成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作差可判断A，进而判断D，取特殊值可判断B，反证法可判断C．
【解析】对于A，
，，
，，，，，选项正确；
对于选项，取，，则，，故不成立，故B错误；
对于选项，要是成立，则有，即，，这与已知条件矛盾，选项错误；
对于选项，若有，则有，这与选项矛盾，错误．故选．
21．（内蒙古集宁一中2019-2020学年高二下学期第二次月考（理））若直线过点，则的最小值等于
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵直线（，）过点，∴．
则，当且仅当时取等号．故答案为C．
22．（吉林省长春外国语学校2020-2021学年高一上学期第一次月考）已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．MN
C．M＝N D．M≥N
【答案】B
【解析】因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以－10，所以M>N，
故选B．
23．（北京外国语大学附属苏州湾外国语学校2020-2021学年第一学期高二期中模拟）已知为正数，，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】D
【解析】，当且仅当时，取得最大值．故选D
24．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文））已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）
A．16 B．
C．5 D．4
【答案】D
【分析】由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值．
【解析】设等比数列公比为，由已知，，即，
解得或（舍），又，所以，
即，故，所以
，当且仅当时，等号成立．故选D．
25．（江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期10月第一次适应性检测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，，结合指数函数的图象与性质可判断A、B；由指数函数的图象与性质结合基本不等式可判断C；举出反例可判断D．
【解析】由题意，，
对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由，，，
所以，，故C正确；
对于D，取，可得，故D错误．故选C．
26．（浙江省浙北四校2020届高三下学期二模）若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据实数满足，画出可行域如图所示
表示可行域内的点与坐标原点距离的平方，
与直线：距离为，
与的距离最大为，
∵可行域不包含，∴，即的取值范围是，故选D

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
27．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期开学考试（零诊模拟）（文））已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于(　　)

A． B．
C．1 D．2
【答案】B
【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1 ，则2－2a＝1，解得a＝，故选B.
28．（安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文））已知实数，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C．

29．（江西省上高二中2021届高三上学期第二次月考（理））记不等式组的解集为，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，求出的最大值， 即可．
【解析】可行域如图所示

由 得 ，当过时，，
．故选
30．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文））已知实数满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．
【解析】画出线性约束条件对应的可行域，表示可行域内的点与的连线斜率，由斜率公式可求两个边界斜率分别是，故其取值范围为．故选．

31．（山西省2021届高三上学期大联考（理））若实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为（ ）
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】C
【分析】作出不等式组的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得．
【解析】由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，则由解得，直线经过时取得最大值．
故的最大值是，故选C．

32．（重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔m＜（x）min，利用基本不等式可求得（x）min＝6，从而可得实数m的取值范围．
【解析】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x恒成立⇔m＜（x）min，当x＞0时，x26（当且仅当x＝3时取“＝”），
因此（x）min＝6，所以m＜6，故选A．
【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．
33．（江苏省扬州市扬大附中东部分校2020-2021学年高三上学期第一次月考）若不等式的解集是，则不等式的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，再化简不等式，从而求出所求不等式的解集．
【解析】根据题意，若不等式的解集是，
则与1是方程的根，且，则有，
解得﹐﹐且；不等式化为：
，整理得﹐即﹐
解可得，即不等式的解为；故选A．
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．
34．（四川省泸县第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考）当时，函数的值域为，且当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得函数的值域为，利用分离常数法，结合基本不等式，求得实数的取值范围．
【解析】函数开口向上，对称轴为，所以当时，，所以．当时，等式恒成立，即．当时，，当且仅当时有最小值．所以，故．
故选A
35．（浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2019-2020学年高一下学期期末）设为正实数，数列满足，，则（ ）
A．任意，存在，使得
B．存在，存在，使得
C．任意，存在，使得
D．存在，存在，使得
【答案】D
【分析】对于选项，时，，所以该选项不正确；对于选项，证明，所以该选项不正确；对于选项，令所以，所以该选项不正确；对于选项，令．所以，所以该选项正确．
【解析】对于选项，因为所以，依次类推得到，
所以时，，所以不存在，使得，所以该选项错误；
对于选项，由已知得，所以，设，所以，所以，所以不存在，使得，所以该选项错误；
对于选项，因为所以，令，所以．所以，所以任意，存在，总有不正确，所以该选项不正确；
对于选项，因为所以，令，所以．所以，所以存在，存在，使得，所以该选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查数列单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
二、多选题
36．（山东省济宁市鱼台县第一中学2021届高三上学期第一次月考（10月））给出下面四个推断，其中正确的为（ ）
A．若，则
B．若则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】AD
【解析】对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确； 对于选项B，当时，，显然不成立，即选项B错误；对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，即四个推段中正确的为AD，故答案为AD．
37．（福建省三明市尤溪五中2019-2020学年高一下学期数学期末复习试题）已知点和在直线的同侧，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由条件可得，从而得解．
【解析】点和在直线的同侧，
所以，解得或．故选BC．
38．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）若实数，则下列选项的不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】由于，由基本不等式得，，，，
上述不等式当且仅当时，等号成立．所以ABCD四个选项都正确．故选ABCD
39．（云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考）下列函数中，能取到最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用基本不等式可验证各选项中函数的最值，同时在利用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，由此可得出合适的选项．
【解析】对于A选项，当时，，A选项不合乎题意；
对于B选项，当时，，则，B选项不合乎题意；
对于C选项，对任意的，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数的最小值为，C选项合乎题意；
对于D选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数的最小值为，D选项合乎题意．故选CD．
40．（山东省日照市莒县2019-2020学年高二上学期期中）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】ABC
【分析】首先设，根据题意得到，再解不等式组即可得到答案．
【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示．

若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
因为对称轴为，则，解得，．
又，故可以为6，7，8．故选ABC
41．（山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试（二模））设表示不小于实数的最小整数，则满足关于的不等式的解可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】首先根据题意解不等式得到，再根据选项即可得到答案．
【解析】因为不等式，所以，即，
又因为表示不小于实数的最小整数，所以不等式的解可以为，，故选BC
42．（山东省威海市文登区2019-2020学年高一上学期期末）已知函数有且只有一个零点，则( )
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】ABD
【分析】根据二次函数零点的分布，以及三个二次之间的关系，根与系数关系的应用，即可容易求得．
【解析】因为有且只有一个零点，
故可得，即可．
对：等价于，显然，故正确；
对：，故正确；
对：因为不等式的解集为，故可得，故错误；
对：因为不等式的解集为，且，则方程的两根为，故可得，
故可得，故正确．故选ABD．
43．（江苏省徐州市沛县郑集高级中学2020-2021学年高一上学期第一次学情调查）已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
【答案】BD
【分析】选项A先假设结论成立，再得到不等式为并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A错误；选项B当，时，不等式恒成立，判断选项B正确；选项C当时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得，符合题意，判断选项D正确；
【解析】选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；
选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；
选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；
选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；
故选BD
44．（百万联考2021届高三9月联考）下列不等式不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A，当，时，，故A不一定成立；
对于B，，因为，所以，
当，时，，即，故B不一定成立；
对于C，当，时，，故C不一定成立；
对于D，因为，所以，所以，故D一定成立．故选ABC．
45．（海南省临高中学2021届高三上学期第一次月考）若，则下列不等式中不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】对于A选项，
，
，则，，所以，，则，
A选项中的不等式成立；
对于B选项，，，则，
所以，，B选项中的不等式成立；对于C选项，
，
若，则，，则，
此时，C选项中的不等式不成立；
对于D选项，，
，则，则，D选项中的不等式不成立．故选CD．
46．（广东省2021届高三上学期调研）若，则下列正确的选项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由条件可知，再根据函数的单调性和不等式的性质判断选项．
【解析】因为，所以，
根据单调性和是单调递增函数，所以，，故A正确，B不正确；根据不等式的性质可知，故C正确；当时，，故D不正确．故选AC
47．（河北省唐山市第十一中学2021届高三上学期9月入学检测）若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】∵，，∴，∴，A正确；
，B正确；，C正确；
若，，满足条件，但，D错误．故选ABC．
48．（海南省临高二中2021届高三上学期第一次月考）下列不等式的证明过程正确的是（　　）
A．若则
B．若则
C．若则
D．若则
【答案】BCD
【解析】对于A， 若 ，则或，选项错误;对于B， 若 ，则，选项正确;对于C， 若，则，选项正确；对于D， 若 ，则，选项正确;故选BCD．
49．（北京外国语大学附属苏州湾外国语学校2020-2021学年第一学期高二期中模拟）若，，则下面有几个结论正确的有（ ）
A．若，，则 B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A：当时，，即，故A不正确；
对于B：若，，由基本不等式得:，即有
即，故，当且仅当“”时取等号，故B正确；对于C：由，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D：由，，，即有，
根据基本不等式有：，
当且仅当，即时取等号，故D正确．
综上：BCD正确．故选BCD．
50．（江苏省扬州市扬大附中东部分校2020-2021学年高三上学期第一次月考）设，，且，那么　　
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值． D．有最小值．
【答案】AD
【分析】根据，，即可得出，从而得出，进而得出，从而得出有最小值；同样的方法可得出，从而得出，进而解出，即得出的最小值为．
【解析】，，，当时取等号，
，解得，，
有最小值；，当时取等号，
，，
，解得，即，
有最小值．故选．
51．（江苏省南通市通州、海安2019-2020学年高一上学期期末联考）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，讨论不等式的解集．
【解析】对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为 ，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，若，不等式解集为 ；
若，不等式的解集为 ，若，不等式的解集为，
综上，都成立，故选.
52．（江苏省南通市如皋市2019-2020学年高二下学期教学质量调研（二））下列说法正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．若、，且，则的最小值为
C．若、，，则的最小值为2
D．关于的不等式的解集是，则
【答案】AC
【分析】利用正弦定理以及大边对大角定理可判断A选项的正误；利用基本不等式可判断B、C选项的正误；利用二次不等式的解集与二次方程之间的关系可判断D选项的正误．
【解析】对于A选项，在中，若，则，由大边对大角定理可知，A选项正确；对于B选项，若、，且，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，，即的最小值为，B选项错误；
对于C选项，若、，由基本不等式可得，
整理得，，解得，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，C选项正确；
对于D选项，由题意知，关于的二次方程的两根分别为、，
由根与系数关系得，解得，所以，，D选项错误．故选AC．
53．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高一上学期9月月考）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为，，A选项正确；且-2和3是关于的方程的两根，由根与系数关系得
，则，则，C选项错误；
不等式即为，解得，B选项正确；
不等式即为，即，解得或，D选项正确．故选ABD．
54．（湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二上学期开学联考）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】BD
【分析】由得到，再分别对选项进行验证排除得到答案．
【解析】，，
又，，，
，，故A选项错；不妨取，则，
所以C选项错；，所以B选项正确；
，，所以D选项正确，故选项为：BD
55．（江苏省扬州市江都区邵伯高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】选项A：因为，所以，不等式两侧同时乘以，所以，故A正确； 选项B：因为，所以，所以，即，又，所以不等式两侧同时乘以，则，故B错误； 选项C：因为，所以，根据不等式的同向可加性知，故C正确；选项D：当，时，此时，，故D错误．故选AC
三、填空题
56．（上海市建平中学2021届高三上学期9月月考）不等式组表示的平面区域的面积等于__________．
【答案】16
【解析】画出可行域如下图所示，经计算得，围成的区域为三角形，故面积为．故填：．

57．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中）不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】把分式不等式等价转化为二次不等式，然后根据一元二次不等式的解法求解即可．
【解析】不等式等价于，解得，
故答案为：．
58．（安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高一下学期段考）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围．
【解析】当时，，满足题意；
当时，则，即，解得：，
综上：．故答案为：
59．（吉林省吉林市第二中学2020-2021学年高一上学期9月月考）若不等式 的解为 ，则不等式 的解集是__________．
【答案】
【解析】根据不等式的解集可知 ，解得 ，即不等式为 ，所以不等式的解集为．
60．（四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试）已知关于的不等式组的解集为，则的值为__________．
【答案】
【解析】由题意得：，则，
解得，所以．故答案为：．
61．（上海市建平中学2021届高三上学期9月月考）正实数、满足，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵，∴，，
当且仅当，即时等号成立．故答案为：．
62．（江苏省扬州市扬大附中东部分校2020-2021学年高三上学期第一次月考）若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由，
得，
所以，可得，
则，
当且仅当时取等号．故答案为：．
63．（A佳教育湖湘名校2019-2020学年高三下学期3月线上自主联合检测文科）已知实数满足约束条件，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论．
【解析】画出表示的可行域，如图:

解得将变形为平移直线由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为所以的取值范围是．故答案为:．
64．（四省（四川 云南 贵州 西藏）名校2021届高三第一次大联考（文））若、满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】作出可行域，如图阴影部分（含边界），

可变为，表示直线的纵截距，因此该直线过点时纵截距最小，最大，∴．故答案为：．
65．（山西省运城市2021届高三上学期9月调研（文））若实数，满足不等式组，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据约束条件，作出可行域如图所示，则直线过点B时取最小值，

由，解得，此时，故答案为：．
66．（湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高二上学期期末）不等式的解集是__________．
【答案】{x|x>-2且x≠1}
【解析】，解得且，
所以不等式的解集为：{x|x>-2且x≠1}．故答案为：{x|x>-2且x≠1}
67．（上海市天山中学2021届高三上学期开学考试）不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，即，等价于解得，即原不等式的解集为，故答案为：
68．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】分离参数，将问题转化为求函数最大值的问题，则问题得解．
【解析】不等式对一切成立，
等价于对于一切成立．设，则．
因为函数在区间上是增函数，所以，
所以，所以的最小值为．故答案为：．
69．（海南省临高二中2021届高三上学期第一次月考）已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】分时和时两种情况讨论，分别求出的解集，再求并集即可．
【解析】因为函数，且，
由，解得，无解，故原不等式的解集为．
70．（江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高一上学期检测（二））如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为__________．
【答案】或
【解析】由根与系数关系得，，代入不等式，
得，，消去得，解该不等式得，
因此，不等式的解集为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查根与系数的关系（根与系数关系），也考查了二次不等式的解法，在解二次不等式时，也要注意将首项系数化为正数，考查运算求解能力，属于中等题．
71．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三9月月考（理））已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以（当且仅当时等号成立），因为恒成立，
所以，解得：．故答案为：
72．（江苏省淮安市淮阴中学2020-2021学年高三上学期8月测试）若1 【答案】(－3，3)
【分析】先算出|b|的范围，再算出a+（﹣|b|）的范围．
【解析】由﹣4＜b＜2⇒0≤|b|＜4，﹣4＜﹣|b|≤0，
又1＜a＜3．∴﹣3＜a﹣|b|＜3．所求范围为（﹣3，3）．
73．（湖北省宜昌市宜都市第二中学2020-2021学年高一上学期9月月考）若，则的范围为__________．
【答案】
【解析】∵，∴，又，∴．故答案为：
74．（江苏省扬州市江都区邵伯高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考）已知函数，若正数，满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以的定义域为，关于原点对称，
所以，则的定义在上的奇函数，
因为，所以是定义在上的增函数
因为，即，
则，即，因为、均为正数，
所以
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为：1．
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断与应用、函数单调性的判断与应用、利用基本不等式“1”的妙用求最值，是中档题．
75．（重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考）已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】由是与的等比中项，求得，化简，结合基本不等式，即可求解．
【解析】由题意，实数，，是与的等比中项，可得，得，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题．
76．（2020届安徽省安庆一中、安师大附中、铜陵一中、马鞍山二中高三7月四校联考数学理科试题）若，，满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】画出满足条件的平面区域，结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可．
【解析】画出，，满足约束条件，的平面区域，如图所示：

而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离，
显然到直线的距离是最小值，
由，得最小值是，故答案为．
77．（2020届山西省大同市云冈区高三高考模拟一模（文））若实数x，y满足不等式组，则的最大值是__________．
【答案】256
【分析】由题意作出其平面区域，令化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得的最大值，进而求出结论
【解析】实数满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

令得，平移直线，
由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大．由，解得，即，
代入得．即目标函数的最大值是．故答案为：．
【点睛】本题考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．
78．（内蒙古赤峰市宁城县2020-2021学年高三9月摸底考试（理））若实数，满足，则的最小值是__________．
【答案】3
【分析】先画出可行域，再联立方程求解点的坐标，最后转化目标函数为可行域内动点与定点连线的斜率并求其最小值
【解析】由约束条件足，画出可行域如图所示：

联立，解得．因为的几何意义为可行域内动点与定点连线的斜率，由图可知，当动点在点时，最小，且，
故答案为：3．
79．（江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期10月第一次适应性检测）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是__________．
【答案】(1，2)
【分析】由一次不等式的解集得，代入分式不等式后可求解．
【解析】∵关于x的不等式的解集是，∴且，．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式的解集与方程解关系，考查分式不等式的求解．解不等式时必须确定未知数系数的正负．
80．（海南省临高二中2021届高三上学期第一次月考）已知是方程的两个实根，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用根与系数关系求得，解不等式从而得出的取值范围．
【解析】，是方程的两个实根，
，，，当时，．
由不等式对任意恒成立，得：即，
；的取值范围为：，故答案为：．
81．（安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文））若对任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】对任意实数，不等式恒成立等价于对任意实数，不等式恒成立，即对任意实数，
令，∴，即
∴，即，∴，即，
故答案为.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下将参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．
82．（黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三上学期第一次月考（文））若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】本题现将不等式运用参变分离化简为，再构造新函数求最大值，最后求实数a的取值范围．
【解析】∵ 不等式在区间上有解，
∴ 不等式在区间上有解，∴ 不等式在区间上有解，
令，（），则，
∴ 当时，，单调递减，∴ ，
不等式在区间上有解，即，∴，故答案为：
83．（辽宁省辽阳市集美中学2020-2021学年高一9月月考）对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是__________．(填写序号)
【答案】②③④⑤
【分析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．
【解析】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；
对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；
对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；
对于④，若，则，则，则，故④为真命题；
对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．
综上可得②③④⑤为真命题．故答案为②③④⑤．
【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．
84．（江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021学年高二上学期开学考试（文））给出下列结论：
①若，则；
②若，，则；
③若，则的最大值为2；
④若，则的最小值为2．
其中正确的结论__________．
【答案】②③
【分析】本题可以利用不等式的基本性质和基本不等式去判断命题的真假，对于错误的命题，可以举反例说明．
【解析】对于①：当时，，故①不正确；
对于②：因为，，所以，所以成立，故②正确；
对于③：因为，，所以，所以，所以的最大值为2，故③正确；
对于④：因为，所以，所以，
当且仅当，即，故的最小值为2不成立，故④不正确，综上得正确的命题是②③，故答案为：②③．
85．（云南省昆明市第一中学2020-2021学年高一上学期新课标数学入学测试试题）已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则下列结论正确的是__________．
①b>0；②b<0；③；④．
【答案】②③
【分析】根据，，可以得到与、的关系，从而可以判断的正负和的正负情况，本题得以解决．
【解析】因为，，
所以，，即，
所以，即，
又，所以，即．
故正确的是②③，故答案为：②③.
四、双空题
86．（2019届浙江省宁波市“十校”高三下学期5月适应性考试）若实数满足约束条件，则最小值是__________，的最小值是__________．
【答案】
【分析】画出可行域，表示直线在轴截距的相反数，表达点到原点距离的平方，根据图像得到答案．
【解析】如图所示：画出可行域和目标函数，，表示直线在轴截距的相反数，根据图像知：当时，有最小值为；
表达点到原点距离的平方，
根据图像知：当时，有最小值为．故答案为：；．

87．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考）若实数，满足约束条件，则的最大值是__________，的最小值是__________．
【答案】
【解析】根据线性约束条件作出可行域如图：
由得，作：，将沿着可行域的方向平移，过时，截距最大，即最大，由得：，所以，
最小为原点到的距离的平方，最小距离为，
所以的最小值是，故答案为：；

88．（天津市实验中学2020-2021学年高一上学期第一次月考）若，，当__________时，的最大值为__________．
【答案】
【解析】当时，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最大值为．故答案为：；．
89．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试）已知关于x的不等式的解集是，则__________，__________．
【答案】
【解析】因为不等式的解集是，
所以和是方程两个根，
把代入可得；再把代入可得或（舍），故答案： 3．
90．（山东省2020届高三新高考模拟猜想卷（三））已知正实数满足，则的最小值是__________，此时__________．
【答案】9
【解析】由可得，由，得，
所以，因为，所以，当且仅当时等号成立．故答案为：9；．
91．（2020年浙江省新高考名校交流模拟卷（四））设实数，满足，则点形成的区域面积为__________；的最大值为__________．
【答案】24 11
【分析】画出不等式组表示的平面区域，可知形成的区域为三角形，求出其面积即可，进而可求出的最大值．
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

可知形成的区域为，其中，，
令，则，可知看出当直线过时，取得最大值为11．
故答案为：24；11．
92．（浙江省温州中学2019-2020学年高二下学期期末）若正数、满足，则的最小值是__________，的最小值是__________．
【答案】
【解析】，，显然
，，，由可知，
，当且仅当时，等号成立，即的最小值为；
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为．故答案为：；．
93．（浙江省平阳县浙鳌高级中学2021届高三上学期期初教学质量监测）已知，则 __________，的最小值为 __________．
【答案】，
【解析】由得且，
所以，=()，
当且仅当时取得等号
94．（广东省河源市2019-2020学年高二下学期期末（理））如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为__________，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为__________．

【答案】8π
【分析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为，高为，则可得，由公式可得圆柱的侧面积；（2）设圆柱的外接球的半径为，依题得，由基本不等式可知外接球表面积最小时，从而可求出外接球的体积．
【解析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为，高为，则可得，所以圆柱的侧面积为；
（2）设圆柱的外接球的半径为，依题得，所以外接球的表面积，
当且仅当时，最小，此时，外接球的体积．
故答案为：（1）8π；（2）
95．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高二下学期第二次段考）已知x，y均为正实数，且，则的最大值为__________；的最大值为__________．
【答案】64 1
【分析】根据基本不等式，得到，即可求解的最大值，化简，结合，利用基本不等式，即可求解．
【解析】由均为正实数，且，可得，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，由，
因为，可得
，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为1．故答案：64，1．