专题4.3 二项分布与超几何分布（A卷基础篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.3二项分布与超几何分布（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2019·山东牡丹·菏泽一中高二月考）一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由超几何分布概率公式可知，所求概率为

故选：

2．（2019·全国高二课时练习）有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从零件中任取3个,那么至少有1个是一等品的概率是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

全部都是二等品的概率为，故至少有个是一等品的概率为，所以选D.

3．（2020·江苏苏州·高二期末）现有5个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为p，且，则恰有三个人译出密码的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意可知，恰有三个人译出密码的概率为

故选：C

4．（2019·全国高二课时练习）从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,则取出产品中无次品的概率为(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

依题意可知，产品总数为件，由超几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为，故选A.

5．（2020·永昌县第四中学期末（理））设随机变量，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由二项分布概率公式可得：

故选：

6．（2019·全国高二课时练习）一批产品共50件,次品率为4%,从中任取2件,则含有1件次品的概率为(　　)

A．0.078 B．0.78

C．0.007 8 D．0.022

【答案】A

【解析】

由于次品率为，故次品数为，正品为，故从中任取件，含有件次品的概率为

7．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正确率为,若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，学生必须答对个题或者个题才能够被选上，答对个题的概率为，答对个题的概率为，故该生被选中的概率是.故选C.

8．（2020·广东广州·期末）将一枚均匀的硬币连续掷10次，则恰好出现5次正面的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

将一枚均匀的硬币连续掷10次，则恰好出现5次正面的概率是

.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（2020·山东潍坊·高二期末）掷一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现次正面的概率记为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．，，，，中最大值为

【答案】BD

【解析】

A、B选项：，

，故A错误，B正确

C选项：，C错误

D选项：二项分布概率公式可得，

最大值为，D正确

故选：BD

10．（2020·山东济宁·期末）为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球（小球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.下列随机事件的概率正确的是（    ）

A．某顾客抽奖一次中奖的概率是

B．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是

C．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是

D．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是

【答案】ABD

【解析】

顾客抽奖一次中奖的概率为，故A选项正确.

顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是，故B选项正确.

对于CD选项，由于第一次抽出了红球，故剩余个白球和个红球，再抽一个，抽到红球的概率是，故C选项错误，D选项正确.

故选：ABD

11．（2020·江苏无锡·高二期末）随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（    ）

A．每次出现正面向上的概率为0.5

B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25

C．出现次正面向上的概率为

D．出现次正面向上的概率为

【答案】BD

【解析】

随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，

对于，每次出现正面向上的概率都是0.5，故正确；

对于，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故错误；

对于，出现次正面向上的概率为，故正确；

对于，出现次正面向上的概率为，故错误．

故选：BD．

12．（2020·三亚华侨学校月考）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（    ）

A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量

B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数服从两点分布

C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1

D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的

【答案】AD

【解析】

对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；

对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数服从二项分布而不是两点分布，故选项B错误；

对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；

对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D正确．

故选：AD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.

【答案】

【解析】

满足超几何分布，所以.

故答案为：

14．（2020·河南高二期末（理））已知随机变量，则 ________.

【答案】

【解析】

由题意知=

==．

15．（2020·北京通州·高二期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，该运动员连续3次射击，中靶2次的概率是__.

【答案】0.384.

【解析】

每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶2次的概率是

.

故答案为：0.384.

16．（2018·浙江下城·杭州高级中学高三其他）一个盒子中有大小形状完全相同的个红球和6个黄球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为，若，则________，________．

【答案】9       

【解析】

由题意知每次随机抽出1个球为红球的概率为，所以，则由，得，解得，所以，

所以．

故答案为：9；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2020·四川省仁寿第二中学高三三模（理））期中考试后，老师把学生的成绩分为较低､及格(不含优秀)､优秀三类，制成下表.

其中低分率与优秀率分别是与.

（1）求全班人数及，的值；

（2）老师重点关注成绩较低的及成绩优秀的学生，利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访，为了保证电话家访的质量，他每天随机打给三位学生的家长，求在第一天老师抽取的三位学生中成绩优秀者的人数X的分布列及数学期望.

【答案】（1）全班人数为50人，，；（2）分布列见解析，.

【解析】

（1），，.

（2）需要家访的共11人，其中成绩优秀的有4人，依题意可得所有可能的取值为.

；；

；，

.

18．（2018·江苏盐城·高二期末）（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量,其概率分布如下表，数学期望.

（1）求a和b的值；

（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的概率分布与数学期望.

【答案】(1) .

(2)分布列见解析，.

【解析】

 (1)因为，所以，

即．①                   

又，得．②       

联立①，②解得，．        

(2)，依题意知，

故，，

，．                  

故的概率分布为

的数学期望为．

19．（2020·苏州市第四中学校高二期中）

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球

（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)答案见解析.

【解析】

本事主要是考查了概率的性质和分布列的期望值的求解的综合运用．

（Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；

（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；

（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；

（Ⅰ）………….. 3分

（Ⅱ）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则. ………….. 6分

（Ⅲ）可能的取值为. ………….. 7分

，，

，. ………….. 11分

的分布列为:

的数学期望. …12分

20．（2020·青海西宁·高二期末（理））在10件产品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：

（1）取出的3件产品中一等品件数的分布列；

（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）题意知 的所有可能取值为 ，，，，且 服从参数为 ，， 的超几何分布，

因此 ．

所以 ； 

； 

 ；

．   

故 的分布列为 :

（2）设“取出的件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件，“恰好取出件一等品和件三等品”为事件，

“恰好取出件一等品”为事件，“恰好取出件一等品”为事件，

由于事件，，彼此互斥，且，

而，，，

所以取出的件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为：

．

21．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究性学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1 人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响.

（1）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；

（2）设为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）.    （2）见解析.

【解析】

（1）记“两次回报活动都是由小组成员甲发言”为事件.由题意，得事件的概率，即两次汇报活动都是由小组成员甲发言的槪率为.  

（2）由题意，的可能取值为2，0，每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.；，所以，的分布列为：

 的数学期望.

22．（2019·内蒙古通辽实验中学高二月考（理））小王在某社交网 络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．

(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；

(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个,记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列．

【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.

【解析】

试题分析：本题主要考查二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问，发放一次红包，每个人得到的概率为，两次中，其中一次得到，一次没得到，所以；第二问，先写出X的所有可能值，当时，说明5元的2个和10元的1个都没有得到，当时，说明5元的2个红包得到了1个，10元的没有得到，当时，说明5元的2个得到了，10元的没有得到，或者5元的2个都没有得到，10元的得到了，当时，5元的2个红包得到了1个，10元的得到了，当时，说明5元的2个都得到了，10元的1个也得到了，分别利用二项分布和独立事件求出概率，最后利用求出数学期望.

试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，． 4分

（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．

，

，

，

，

． 10分

X的分布列：

E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝．