专题4.6《随机变量》单元测试卷（B卷提升篇）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷【解析版】

专题4.6《随机变量》单元测试卷（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2018·广东高二期末（理））已知随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】

随机变量服从正态分布，

曲线关于对称，

，

，

，

故选：.

2．（2020·沙坪坝·重庆八中月考）已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】C

【解析】

由题，，

，

.

故选：C

3．（2020·云南昆明一中月考（理））设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若 (为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【解析】

设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，

故选：B.

4．（2020·北京高三开学考试）设随机变量的分布列如下

其中构成等差数列，则的（    ）

A．最大值为 B．最大值为

C．最小值为 D．最小值为

【答案】B

【解析】

，，，

当且仅当时取等，

故选：B.

5．（2020·湖南益阳·高三月考）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：

芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，

∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.

故选：A.

6．（2020·浙江月考）袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为，则随机变量的数学期望（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意可得的取值为0，1，2，

，，

，

所以数学期望.

故选：A

7．（2020·安徽高二月考（文））2020年6月9日，安徽省教育厅宣布，为应对7月高考、中考期间高温天气，给学生创造舒适考场环境，全部地市将在中考、高考考场安装空调．某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每台空调器仅获利润200元．该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：

以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元）．则当周的平均利润为（    ）

A．10000元 B．9400元

C．8800元 D．9860元

【答案】D

【解析】

当时，，

当时，，

则可知的可能取值为8800，9400，10000，10200，10400，

，，，，，

（元）．

故选：D.

8．（2020·湖南雅礼中学高三月考）2019年末，武汉岀现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排査确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排査期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”.

∴，.

即.

设，则

，

∴

，

当且仅当即时取等号，

即.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·山东青岛·高三开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（    ）

附：若随机变量服从正态分布，则.

A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为

B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为

【答案】ABD

【解析】

对于选项A：，正确；

对于选项B C：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；

对于选项D：，正确.

故选：ABD.

10．（2020·广东汕尾·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

由离散型随机变量X的分布列的性质得：，

所以，

，

∴，，

故选：BD．

11．（2020·福建龙海二中期末）设，随机变量的分布列是：

则当在内增大时（    ）

A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小

【答案】BD

【解析】

由题意，，

所以，

所以在上随增大而增大；

在上随增大而增大，在上随增大而减小，即先增大后减小.

故选：BD.

12．（2020·南京市秦淮中学月考）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

由题可知，，

，

则

解得，由可得，

故选：AC

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2019·奈曼旗实验中学期中（理））某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为____________.

【答案】200

【解析】

设没有发芽的种子数为，则有，

由题意可知服从二项分布，即,

则，所以.

故答案为：200.

14．（2018·广东高二期末（理））已知离散型随机变量的取值为0，1，2，且，，；若，则___________.

【答案】

【解析】

由题意知：，

解得，

所以

.

故答案为：.

15．（2020·中区·山东省实验中学高三月考）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的模率为，得0分的概率，（），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，

得0分概率为，，他投篮一次得分的期望为2，

，

，

当且仅当时取等号，

的最小值为．

故答案为：．

16．（2020·浙江镇海中学高三三模）已知随机变量的分布列如下表，其中.

若，，依次成等差数列，则的最大值为______，若，，依次成等比数列，则的最大值为______.

【答案】       

【解析】

若，，依次成等差数列，

则，解得，

，，

，，

故当时，的最大值为

若，，依次成等比数列，

则，整理可得，

设，则，代入上式，

化简得，

此方程在上有解，则，

解得，

将代入方程，检验可知时，方程在上有解，

所以，

故答案为：；

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学月考（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

 (Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，

故，从面.

所以，随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望.

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.

且.

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由(Ⅰ)知：

.

18．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中、、环的概率分别为、、，乙一次射击命中、环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．

（1）在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；

（2）记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的分布列；

（3）进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率．

【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）.

【解析】

（1）设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为，

则甲命中的环数不高于乙命中的环数为；

（2）题意可知随机变量的可能取值有、、、，

，，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

（3）每轮射击后，甲、乙命中的环数之和为的概率为，

三轮射击后，甲、乙命中的环数之和最小为，

因此，进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率为.

19．（2020·海南期中）在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成，两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：

（1）分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；

（2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记为这2个人评分之差的绝对值，求的分布列和数学期望.

【答案】（1），；，；组的评分更集中一些；（2）分布列见解析；.

【解析】

（1）；

.

；

.

根据方差的概念及实际含义可知，组的评分较集中.

（2）从组评分中去掉一个最高分9.3，去掉一个最低分8.6，

易知的所有可能取值为0，0.1，0.3，0.4，0.5.

从8人的评分中任取2人的评分，共有种等可能的结果，

把组成绩按照从大到小排成一列为8.7，8.8，8.8，9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，

则，，

，，

，

所以的分布列是

的数学期望.

20．（2020·湖南郴州·月考）某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：

方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.

方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.

问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；

（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.

【答案】（1）分布列见解析；期望为万元；（2）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

（1）基地收益的可能值为2，1，0.75，

因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为，

则，

，

，

故的分布列为

则.

（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益

，

，

当时，即时，不外聘工人；

当时，即时，外聘工人；

当时，即时，是否外聘工人均可以，

综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人，

当成本低于0.17万元时，外聘工人，

当成本恰为0.17万元时，是否外聘工人均可以.

21．（2020·湖北期中）某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.

（2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析.

【解析】

（1）X可能的取值为1，2，5，

根据题意，有，

，

，

.

所以X的分布列为：

（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，

则.

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为.

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是

（3）由（1）知，随机变量X的数学期望为.

这表明，获得分数X的均值为负.

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.

22．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中，．

（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；

（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为（单位：元）．

（i）设时的概率为m，求当m取最大值时，利润的分布列和数学期望；

（ii）设某数列满足，，，若对任意恒成立，求整数t的最小值．

【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，数学期望为4900；（ii）4．

【解析】

（1）由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”.

所以.

（2）（i）由题可得的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.

，，

，，，

所以，取最大值的条件为，

所以分布列为：

.

（ii）由题可得，所以，

化简得，即是等比数列，首项为，公比为，

所以，化简得.

由题可知：

①，解得或；

②，

当为偶数时，上述不等式恒成立；

当为奇数时，，解得；综上所述，的最小值为4.