专题3.2 二项式定理与杨辉三角（A卷基础篇）（解析版）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题3.2二项式定理与杨辉三角（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·北京高二期末）在的展开式中，的系数是（    ）

A．5 B．10 C．20 D．60

【答案】B

【解析】

的展开式的通项公式为，

令，得，

所以的系数为

故选：B

2．（2020·山东济南�高二期末）展开式中的常数项为（    ）

A．120 B．70 C．20 D．1

【答案】C

【解析】

二项式展开式的通项为，

令，解得，所以.

故选：C.

3．（2020·湖北恩施�高二期末）的展开式中含项的系数是（    ）

A．60 B．  C．12 D．

【答案】D

【解析】

由二项式定理展开式的通项公式得：

，

所以令得，所以，故的系数为.

故选：D.

4．（2020·北京通州�高二期末）展开式中的第2项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

展开式中的第2项是.

故选：.

5．（2020·广西七星�桂林十八中高二期中（理））的展开式中的系数为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.

6．（2020·辽宁辽阳�高二期中）除以，所得余数是(        )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，展开式的通项为，不能被整除即时，余数为，由于余数要为正数，故加，得.

7．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】

从第三行起头尾两个数均为1，

中间数等于上一行肩上两数之和，

所以.

故选：C.

8．（2020·山东潍坊�高二期中）已知则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】

由

令得：，则

令得：

所以，则

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（2020·永安市第三中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（    ）

A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

【答案】CD

【解析】

由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，

又因为其相等，则

所以该展开式中二项式系数最大的项为与项

即为第5项；第6项.

故选：CD

10．（2020·无锡市大桥实验学校高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】ABC

【解析】

当的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，；

当的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，；

当的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，.

故选：ABC.

11．（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ）.

A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第八项

【答案】BC

【解析】

二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项

所以系数最大的项为第六项和第七项

故选：BC

12．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）关于的说法，正确的是（    ）

A．展开式中的二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大

C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小

【答案】ABD

【解析】

关于的说法：

对于选项，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为024，故正确；

对于选项，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故正确，错误；

对于选项，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故正确.

故选：ABD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2020·辽宁高二期末）的展开式的各项系数之和为_______.

【答案】

【解析】

令，得的展开式中各项的系数之和为：

．

故答案为：．

14．（2020·湖南高二期末）若的展开式中常数项为160，则__________．

【答案】2

【解析】

的展开式的第项为，

令，则，所以，所以，故

故答案为2

15．（2019·广东江门�高二期末）观察下图所示“三角数阵”，该数阵最后一行各数之和为________.

【答案】（或1024）

【解析】

由题得最后一行的和为.

故答案为：（或1024）

16．（2020·浙江海宁�高三一模）早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知的展开式中的系数为，则实数________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）

【答案】2    1   

【解析】

由题可知，，则，故．

令，展开式中各项系数之和为．

故答案为：(1).2；(2).1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2020·上海高三专题练习）若的展开式中第2项小于第1项，但不小于第3项，求实数x的范围．

【答案】

【解析】

通项公式，则，

得，化简得，

解得.

18．（2019·全国高二课时练习）已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项．

【答案】

【解析】

由通项，

，当时，取到常数项，即．

19．的展开式中各项系数之和为81，求展开式中的系数．

【答案】24

【解析】

因为的展开式中各项系数之和为81，

所以，解得，

因此的展开式的通项是，

由得，

所以，展开式中的系数为.

20．（2019·同济大学第一附属中学高二期末）的展开式一共有13项.

（1）求展开式中二项式系数之和；

（2）求展开式中的常数项

【答案】（1）；（2）7920

【解析】

由的展开式一共有13项得，

（1）由得展开式中二项式系数之和为；

（2）由得展开式的通项为，

令，得，

所以展开式中的常数项为.

21．（2018·营口开发区第一高级中学高二月考（理））在的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35.         

（1）求的值；

（2）求展开式中的常数项.

【答案】（1）10（2）45

【解析】

（1）由题意知得或（舍去）

（2）设第项为常数项，则

所以展开式中的常数项为

22．（2020·永安市第三中学高二期中）已知的展开式中的系数是-35，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）1（2）

【解析】

∵，

∴，∴.

（1）令时，，①

令时，.

∴.

（2）令时，.②

①-②得.