高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试精品复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试精品复习练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 分值：150分


一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）


1．设，则是的( )


A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件


C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件


2．已知，则下列命题正确的是( )


A． B．


C． D．


3．设函数（），若，则函数的图象不可能是( )














4．若α，β满足，则的取值范围是( )


A． B．


C． D．


5．已知x，y∈R＋，且满足x＋2y＝2xy，那么x＋4y的最小值为( )


A． 3－eq \r(2) B． 3＋2eq \r(2)


C． 3＋eq \r(2) D． 4eq \r(2)


6．设，其中，且，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )


A．A≥B B．A>B


C．A

7．已知a>0，b>0，，则的最小值为( )


A．4 B．2eq \r(2)


C．8 D．16


8．已知a>0，b>0，，且，．则α＋β的最小值是( )


A．3 B．4


C．5 D．6


9．若a，b都是正数，则的最小值为( )


A．7 B．8


C．9 D．10


10． 已知时不等式恒成立，则x的取值范围为( )


A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)


C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)


11．已知 ，且，，则M、N的大小关系是


A． M>N B． M

C． M＝N D． 不能确定


12．关于x的不等式的解集为，且，


则 ( )


A． eq \f(5,2) B． eq \f(7,2)


C． eq \f(15,4) D． eq \f(15,2)

















二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)


13．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．





14．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．





15．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．





16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．








三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)


17．（本小题10分）解不等式组．











18．（本小题12分）正数x，y满足．


(1)求xy的最小值；


(2)求x＋2y的最小值．








19．（本小题12分）若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；


(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R．








20．（本小题12分）设，且，证明：














21．（本小题12分）解关于x的不等式．














22．（本小题12分）


如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．























(1)求炮的最大射程；


(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．


第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测参考答案


时间：120分钟 分值：150分


一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）


1．设，则是的( )


A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件


C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件


解析：若a>1，则eq \f(1,a)<1成立；反之，若eq \f(1,a)<1，则a>1或a<0．即a>1⇒eq \f(1,a)<1，而eq \f(1,a)<1⇒ a>1，故选A．


2．已知，则下列命题正确的是( )


A． B．


C． D．


解析：A项，c＝0时不成立；B项，c<0时不成立；C项，因为a>b，ab<0，所以eq \f(a,ab)b，ab>0，所以a·ab>b·ab，即a2b>ab2，不成立．


3．设函数（），若，则函数的图象不可能是( )

















解析：由A，B，C，D四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1＝x2，由于a＝c，所以x1x2＝eq \f(c,a)＝1，比较四个选项，可知选项D的x1＜－1，x2＜－1，所以D不满足．





4．若α，β满足，则的取值范围是( )


A． B．


C． D．


解析：从题中－eq \f(π,2)<α<β

5．已知x，y∈R＋，且满足x＋2y＝2xy，那么x＋4y的最小值为( )


A． 3－eq \r(2) B． 3＋2eq \r(2)


C． 3＋eq \r(2) D． 4eq \r(2)


解析：由x>0，y>0，x＋2y＝2xy，得eq \f(1,2y)＋eq \f(1,x)＝1，则x＋4y＝(x＋4y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2y)＋\f(1,x)))＝eq \f(x,2y)＋1＋2＋eq \f(4y,x)≥3＋2eq \r(\f(x,2y)·\f(4y,x))＝3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(x,2y)＝eq \f(4y,x)时等号成立．


6．设，其中a、b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )


A．A≥B B．A>B


C．A

解析：因为a，b都是正实数，且a≠b，


所以A＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，即A>2，


B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，


即B≤2，所以A>B．


7．已知a>0，b>0，，则的最小值为( )


A．4 B．2eq \r(2)


C．8 D．16


解析：由a>0，b>0，a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)，得ab＝1，


则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq \r(2)．当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)，即a＝eq \f(\r(2),2)，b＝eq \r(2)时等号成立．


8．已知a>0，b>0，，且，．则α＋β的最小值是( )


A．3 B．4


C．5 D．6


解析：因为α＋β＝a＋eq \f(1,a)＋b＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋b) ＝1＋1＋1＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥5．


当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立．


9．若a，b都是正数，则的最小值为( )


A．7 B．8


C．9 D．10


解析：由a，b都是正数，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．


10． 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )


A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)


C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)


解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，


则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，


所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，


且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))得x＜1或x＞3．


11．已知 ，且，，则M、N的大小关系是


A． M>N B． M

C． M＝N D． 不能确定


解析：∵00,1＋b>0,1－ab>0，


∴M－N＝eq \f(1－a,1＋a)＋eq \f(1－b,1＋b)＝>0．


12．关于x的不等式的解集为，且，


则 ( )





A． eq \f(5,2) B． eq \f(7,2)


C． eq \f(15,4) D． eq \f(15,2)


解析：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝eq \f(5,2)．


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)





13．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．


解析：x2＋y2≥eq \f(x＋y2,2)＝eq \f(1,2)．当且仅当x＝y时等号成立．


当x＝0或x＝1时，x2＋y2取最大值，为1．


所以x2＋y2的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))．





13．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．


解析：由题意可知，Δ>0且x1x2＝a2－1<0，故－1

15．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．


解析：因为a＞0，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)≥10＋2eq \r(9)＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6．


16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．


解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝eq \f(k2,x)(k2≠0)，


∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，


∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋\f(20,x)))万元，


∵5x＋eq \f(20,x)≥2eq \r(5x×\f(20,x))＝20，当且仅当5x＝eq \f(20,x)，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．


三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)


17．（本小题10分）解不等式组．


解析：eq \f(3x－2,x－6)≤1⇒eq \f(2x＋4,x－6)≤0⇒x∈[－2,6)，


6x2－x－1>0⇒(3x＋1)(2x－1)>0⇒x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，


所以原不等式组的解集为x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，6))．


18．（本小题12分）正数x，y满足．


(1)求xy的最小值；


(2)求x＋2y的最小值．


解析：(1)由1＝eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)≥2eq \r(\f(1,x)·\f(9,y))得xy≥36，当且仅当eq \f(1,x)＝eq \f(9,y)，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36．


(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝19＋eq \f(2y,x)＋eq \f(9x,y)≥19＋2eq \r(\f(2y,x)·\f(9x,y))＝19＋6eq \r(2)，当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(9x,y)，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6eq \r(2)．


19．（本小题12分）若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；


(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R．


解析：(1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,\f(4,1－a)＝－2，,\f(6,1－a)＝－3，))解得a＝3．


所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，


即为2x2－x－3>0，


解得x<－1或x>eq \f(3,2)．


所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2)))))．


(2)ax2＋bx＋3≥0，


即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，


则b2－4×3×3≤0，


所以－6≤b≤6．





20．（本小题12分）设，且，证明：





解析：当abc＝1时，eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))＝eq \f(\r(bc)＋\r(ac)＋\r(ab),\r(abc))＝eq \r(bc)＋eq \r(ac)＋eq \r(ab)，


a＋b＋c＝eq \f(a＋b＋b＋c＋a＋c,2)≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ac)．





21．（本小题12分）解关于x的不等式．


解析：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．


①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．


②当a＞0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，


解得x≥eq \f(2,a)或x≤－1．


③当a＜0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0．


当eq \f(2,a)＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤eq \f(2,a)；


当eq \f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；


当eq \f(2,a)＜－1，即－2＜a＜0，解得eq \f(2,a)≤x≤－1．


综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；


当a＞0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(2,a)，或x≤－1))；


当－2＜a＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)≤x≤－1))))；


当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；


当a＜－2时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤\f(2,a)))．



































22．（本小题12分）


如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．




















(1)求炮的最大射程；


(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．


解析：(1)在y＝kx－eq \f(1,20)(1＋k2)x2(k>0)中，令y＝0，得


kx－eq \f(1,20)(1＋k2)x2＝0．


由实际意义和题设条件知，x>0，k>0．


∴x＝eq \f(20k,1＋k2)＝eq \f(20,\f(1,k)＋k)≤eq \f(20,2)＝10，当且仅当k＝1时取等号．


∴炮的最大射程是10千米．


(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka－eq \f(1,20)(1＋k2)a2＝3．2成立，即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0得a≤6．


此时，k＝eq \f(20a＋\r(（－20a）2－4a2（a2＋64）),2a2)>0(不考虑另一根)，∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．