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    高中数学新教材必修第一册 第1章 1.4.2 充要条件课件PPT

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    这是一份高中数学新教材必修第一册 第1章 1.4.2 充要条件课件PPT,共51页。

    高中数学新教材 同步课件(必修第一册)1.4.2 充要条件第一章 §1.4 充分条件与必要条件1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明.学习目标同学们,上节课,我们学习了充分条件与必要条件,让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构,其实在我们数学上,也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧!导语随堂演练课时对点练一、充要条件二、充要条件的证明三、充分条件、必要条件、充要条件的应用内容索引一、充要条件问题1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0;(4)若A∪B是空集,则A与B均是空集.提示 不难发现,上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题.问题2 你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p,q的关系吗?提示 首先原命题和逆命题都是成对出现的,不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件.如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 ,又有   ,就记作 ,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为  条件.注意点:充要条件的判断方法:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断条件是结论的什么条件.p⇒qq⇒pp⇔q充要例1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p:x=1,q:x-1= ;∴p是q的充分不必要条件.(2)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;解 ∵-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5,∴p是q的充要条件.(3)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;解 由q:(x+2)2≠y2,得x+2≠y,且x+2≠-y,又p:x+2≠y,故p是q的必要不充分条件.(4)p:a是自然数;q:a是正数.解 0是自然数,但0不是正数,故p⇏q;故p是q的既不充分也不必要条件.反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.(3)等价法:即利用p⇔q与q⇔p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.跟踪训练1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;解 充要条件;(2)p:⊙O内两条弦相等,q:⊙O内两条弦所对的圆周角相等;解 必要不充分条件;(3)p:A∩B=∅,q:A与B之一为空集;解 必要不充分条件;(4)p:a能被6整除,q:a能被3整除;解 充分不必要条件.二、充要条件的证明例2 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明 必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根,∴Δ=b2-4ac>0,且x1x2= <0,∴ac<0.充分性:由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2= <0,∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根.反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件.跟踪训练2 求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.证明 ①充分性:如果b=0,那么y=kx,当x=0时,y=0,函数图象过原点.②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0.综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.三、充分条件、必要条件、充要条件的应用例3 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},解得m≤3.又m>0,所以实数m的取值范围为{m|00).因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以AB.解不等式组得m>9或m≥9,所以m≥9,即实数m的取值范围是m≥9.2.本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解 因为p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).故不存在实数m,使得p是q的充要条件.反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练3 在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由.问题:已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的________?解 由题意知A={x|0≤x≤4},若选①,则A是B的真子集,所以1-a≤0且1+a≥4(两等号不能同时取得),又a>0,解得a≥3,所以存在a,a的取值集合M={a|a≥3}.若选②,则B是A的真子集,所以1-a≥0且1+a≤4(两等号不能同时取得),又a>0,解得00,方程组无解,所以不存在满足条件的a.1.知识清单:(1)充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充要条件的应用.2.方法归纳:等价转化.3.常见误区:条件和结论辨别不清.课堂小结随堂演练1.“x>0”是“x≠0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1234√解析 由“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.12342.“x2-4x-5=0”是“x=5”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由x2-4x-5=0得x=5或x=-1,则当x=5时,x2-4x-5=0成立,但当x2-4x-5=0时,x=5不一定成立.√12343.“a0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析 已知a,b是实数,则若a<0,且b<0,则不一定有ab(a-b)>0,比如当a0,则a-b和ab同号,当a>b>0时满足ab(a-b)>0,当b0,故不能确定a和b的正负.故是既不充分也不必要条件.1234567891011121314155.(多选)下列选项中正确的是A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C.A∪B=A是B⊆A的必要不充分条件D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件√16√123456789101112131415166.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是A.x≥0 B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5} D.x≤0或x>2√√解析 从集合的角度出发,在选项中判断哪个是题干的真子集,只有BC满足题意.123456789101112131415167.已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)必要不充分解析 由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1;反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1.123456789101112131415168.对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈A∪B的_____条件.充要解析 由x∈B,显然可得x∈A∪B;反之,由A⊆B,则A∪B=B,所以由x∈A∪B可得x∈B,故x∈B是x∈A∪B的充要条件.123456789101112131415169.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.1234567891011121314151610.设命题p: ≤x≤1;命题q:a≤x≤a+1,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.由p是q的充分不必要条件,可知AB,123456789101112131415综合运用1611.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析 函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方,则Δ=4a2-4a<0,解得0m+3或x
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