初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形精品习题

这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形精品习题，共20页。试卷主要包含了5C．67，5°．，5秒；，4s，等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是（ ）


A．14B．23C．19D．19或23


2．在△ABC中，∠B＝30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD＝BD，DE＝CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为（ ）


A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°


3．已知等腰三角形顶角的度数是30°，则底角的度数为（ ）


A．60°B．65°C．70°D．75°


4．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为何（ ）





A．45B．52.5C．67.5D．75


5．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）





A．2.5 sB．3 sC．3.5 sD．4 s


6．下列三角形：①三个角都等于60°；②有一个外角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的是（ ）


A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④


二．填空题


7．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．





8．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为 ．


9．顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为 ．


10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝ ．





11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．





12．如图，点C为线段AB上一动点，△ACD，△CBE是等边三角形，AE交BD于点O，AE交CD于点P，BD交CE于点Q，连接OC，下列结论中：①PE＝BQ，②∠AOD＝60°，③EO＝BQ，④OC+OE＝OB，⑤OC平分∠AOB，正确的结论有 （只填序号）．





13．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是 ．





三．解答题


14．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．


①试说明△OBC是等腰三角形；


②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．














15．如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且AD＝BE，AE、CD相交于点F，AG⊥CD，垂足为G．求证：AF＝2FG．














16．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．


（1）求证：DB＝DE；


（2）若点F是BE的中点，连接DF，且CF＝2，求等边三角形△ABC的边长．














17．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．














18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．


（1）当D点在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明．


（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：


（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？








参考答案


一．选择题


1．解：当腰长为5时，则三角形的三边分别为5、5、9，满足三角形的三边关系，其周长为19；


当腰长为9时，则三角形的三边分别为9、9、5，满足三角形的三边关系，其周长为23；


综上可知三角形的周长为19或23，


故选：D．


2．解：如图所示，∵AD＝BD，∠B＝30°，


∴∠ADC＝60°，


∵DE＝CE，


∴可设∠C＝∠EDC＝α，则∠ADE＝60°﹣α，∠AED＝2α，


根据三角形内角和定理可得，∠DAE＝120°﹣α，


分三种情况：


①当AE＝AD时，有60°﹣α＝2α，


解得α＝20°；


②当DA＝DE时，有120°﹣α＝2α，


解得α＝40°；


③当EA＝ED时，有120°﹣α＝60°﹣α，方程无解，


综上所述，∠C的度数为20°或40°，


故选：D．





3．解：∵等腰三角形顶角的度数是30°，


∴底角的度数为（180°﹣30°）＝75°．


故选：D．


4．解：∵AB＝AC，


∴∠ABC＝∠ACB，


∵∠A＝30°，


∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，


∵以B为圆心，BC长为半径画弧，


∴BE＝BD＝BC，


∴∠BDC＝∠ACB＝75°，


∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，


∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，


∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）＝67.5°．


故选：C．


5．解：设运动的时间为x，


在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，


点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，


当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，


AP＝20﹣3x，AQ＝2x


即20﹣3x＝2x，


解得x＝4．


故选：D．


6．解：①三个角都等于60°的三角形是等边三角形；


②有一个外角等于60°的等腰三角形是钝角三角形，不是等边三角形；


③三个外角都相等，则三角形外角都是＝120°，


∴三角形的三个内角都是60°，


∴三个外角都相等的三角形是等边三角形；


④一腰上的中线也是这条腰上的高，则这条中线所在的直线是这条腰的垂直平分线，


∴腰与底相等，


∴一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，


故选：C．


二．填空题


7．


解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，


∴∠AOC＝30°，


①当E在E1时，OE＝CE，


∵∠AOC＝∠OCE＝30°，


∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；


②当E在E2点时，OC＝OE，


则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；


③当E在E3时，OC＝CE，


则∠OEC＝∠AOC＝30°；


故答案为：120°或75°或30°．


8．解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；


当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；


故顶角的度数为80°或20°．


故答案为：80°或20°．


9．解：如图1，


∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，


∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，


∴∠C＝∠ABC＝＝70°．


故答案为：70°．





10．解：∵DE是AB的垂直平分线，


∴DE⊥AB，


∴∠AED＝90°，


又∵∠ADE＝40°，


∴∠ABD＝∠A＝50°，


又∵AB＝AC，


∴∠ABC＝65°，


∴∠DBC＝15°．


故答案为：15°．


11．解：由题意可得，


第一种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，


∴CP＝6cm，


∴t＝6÷2＝3秒；


第二种情况：当CP＝PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，


∴AB＝10cm，∠PAC＝∠PCA，


∴∠PCB＝∠PBC，


∴PA＝PC＝PB＝5cm，


∴t＝（CB+BP）÷2＝（8+5）÷2＝6.5秒；


第三种情况：当AC＝AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，


∴AP＝6cm，AB＝10cm，


∴t＝（CB+BA﹣AP）÷2＝（8+10﹣6）÷2＝6秒；











第四种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，


作CD⊥AB于点D，


∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，tan∠A＝＝，


∴，AB＝10cm，


设CD＝4a，则AD＝3a，


∴（4a）2+（3a）2＝62，


解得，a＝，


∴AD＝3a＝，


∴AP＝2AD＝7.2cm，


∴t＝＝5.4s，


故答案为：3，6或6.5或5.4．














12．解：∵△ACD，△CBE是等边三角形


∴BC＝CE，CD＝AC，∠BCD＝∠ACE


∴△ACE≌△DCB


∴∠AEC＝∠CBD，∠PCE＝∠QCB，BC＝EC


∴△BCQ≌△ECP


∴PE＝BQ①对，故EO≠BQ．③错


由上可知，∠CEA＝∠CBO，∠EQO＝∠BQC


∴△BCQ∽△E0Q


∴∠BCQ＝∠EOQ＝∠AOD＝60°②对．


∴∠POQ＝120°


∵△BCQ∽△E0Q


∴＝


∵∠OQC＝∠BQE


∴△OQC∽△EQB


∴∠COQ＝∠CEB＝60°


∴∠POC＝60°


∴OC平分∠AOB⑤对．


连接PQ，过点P做OP＝OM．


∵∠POM＝60°


∴△OPM为等边三角形


∴∠OMC＝60°


∴∠PMC＝120°


又∵∠POQ＝120°


∴∠PMC＝∠POQ，易证PQ∥BC


∴∠OQP＝∠DBC


∵∠DBC＝∠AEC


∴∠OQP＝∠AEC


∵∠OPC＝∠OPC，∠AOC＝∠PCE＝60°


∴△CPO∽△EPC


∴∠PEC＝∠PCO


∴∠PCO＝∠OQP


又∵OP＝PM


∴△OPQ≌△MPC


∴MC＝OQ


∴OC+OE＝OP+OQ+OE＝PE+OQ＝QB+OQ＝OB④对．


故①②④⑤是正确的．





13．解：∵在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB，


∴∠BA1C＝＝80°，


∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，


∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×80°；


同理可得，


∠EA3A2＝（）2×80°，∠FA4A3＝（）3×80°，


∴第n个等腰三角形的底角度数是（）n﹣1×80°．


∴第2019个等腰三角形的底角度数为：，


故答案为


三．解答题


14．解：①∵在△ABC中，AB＝AC，


∴∠ABC＝∠BCA；


∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，


∴∠OBC＝∠BCO；


∴OB＝OC，


∴△OBC为等腰三角形．





②在△AOB与△AOC中．


∵，


∴△AOB≌△AOC（SSS）；


∴∠BAO＝∠CAO；


∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）


解法二：∵OB＝OC，AB＝AC，


∴OA垂直平分线段BC．


15．证明：∵等边三角形ABC，


∴AB＝CA，∠ABE＝∠CAD＝60°，


在△ABE和△CAD中，，





∴△ABE≌△CAD（SAS）．


∴∠AEB＝∠CDA，又∠EAD为公共角，


∴△ADF∽△ABE．


∴∠AFD＝∠B＝60°．


∵AG垂直CD，即∠AGF＝90°，


∴∠GAF＝30°，


∴AF＝2FG（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．





16．（1）证明：∵△ABC是等边三角形


∴∠ABC＝∠ACB＝60°


又∵BD是中线


∴BD平分∠ABC


∴∠DBC＝∠ABC＝30°


∵CE＝CD


∴∠E＝∠CDE


又∵∠ACB＝∠E+∠CDE


∴∠E＝∠CDE＝30°


∴∠DBC＝∠E


∴DB＝DE





（2）解：由（1）可知DB＝DE


又∵点F是BE的中点


∴DF⊥BE


∵∠ACB＝60°


∴∠CDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°


又∵△CDF为直角三角形


∴CF＝CD，∴CD＝4


∵BD是中线


∴AC＝2CD＝8


即等边三角形△ABC的边长为8．


17．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，


∴AE＝BF＝CD，


又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，


∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），


∴DE＝EF＝FD，


∴△DEF是等边三角形．





18．解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下：


∵D为BC中点，


∴BD＝CD，


∵AB＝AC，


∴∠B＝∠C，


∵DE⊥AB，DF⊥AC，


∴∠DEB＝∠DFC＝90°，


在△BED和△CFD中


，


∴△BED≌△CFD（AAS），


∴DE＝DF．





（2）DE+DF＝CG．


证明：连接AD，


则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB•CG＝AB•DE+AC•DF，


∵AB＝AC，


∴CG＝DE+DF．





（3）当点D在BC延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．


理由：连接AD，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，


即AB•DE＝AB•CG+AC•DF


∵AB＝AC，


∴DE＝CG+DF，


即DE﹣DF＝CG．


同理当D点在CB的延长线上时，（2）中结论不成立，则有DF﹣DE＝CG，说明方法同上．