初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形第1课时随堂练习题

13.3.1　第1课时　等腰三角形的性质

命题点 1　等边对等角

1.在△ABC中,AB=AC,若∠B=72°,则∠A的度数为 (　　)

A.72°                  B.45°              C.36°                 D.30°

2.如图,在△ABC中,点D为边AC上一点,且AB=DB=DC,∠C=40°,则∠ABD的度数是 (　　)

A.20°               B.40°             C.60°                  D.80°

3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AC,则∠BCD的度数为 (　　)

A.20°               B.30°               C.40°                 D.50°

4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC的度数为              (　　)

A.110°                B.120°           C.130°           D.140°

5.   若等腰三角形的一个角为42°,则它的顶角的度数为　　　　　　　. 

6.   若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的一个底角的度数为　　　　. 

7.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:∠DAC=2∠D.

8.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且CD=AD,AB=BD,求∠BDA的度数.

命题点 2　等腰三角形“三线合一”的性质

9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是 (　　)

A.AD=BD                      B.BD=CD

C.∠1=∠2                      D.∠B=∠C

10.如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (　　)

A.20°                        B.35°

C.40°                        D.70°

11.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,E是BA延长线上一点,F是AC上一点,连接EF并延长交BC于点G,且AE=AF.

(1)判断EG与BC的位置关系,并说明理由;

(2)若∠B=65°,求∠E的度数.

12.如图,在△ABC中,AB=BC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F.

(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数;

(2)若F是AC的中点,求证:∠CFD=∠ABC.

13.(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BA=CA,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,试求∠DAE的度数;

(2)如图果把(1)中的条件“BA=CA”去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?请说明理由;

(3)如图果把(1)中的条件“∠BAC=90°”改为“∠BAC>90°”,其余条件不变,那么∠DAE与∠BAC之间有什么数量关系?

答案

1.C　

2.A　 ∵DB=DC,∠C=40°,

∴∠DBC=∠C=40°.

∴∠BDC=180°-40°×2=100°.

∴∠BDA=80°.

∵AB=DB,∴∠A=80°.

∴∠ABD=180°-80°-80°=20°.

故选A.

3.B　 ∵AB=AC,∠A=40°,

∴∠ABC=∠ACB=70°.

∵DE垂直平分AC,∴AD=CD.

∴∠A=∠ACD=40°.

∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°.故选B.

4.A　 ∵AB=AC,∠A=40°,

∴∠ABC=∠ACB=×(180°-40°)=70°.

∵∠1=∠2,

∴∠ACB=∠1+∠PCB=∠2+∠PCB=70°.

∴∠BPC=180°-(∠2+∠PCB)=110°.

5.42°或96°　 该题分两种情况讨论:①42°的角为顶角时,顶角的度数是42°;②42°的角为底角时,顶角为180°-42°×2=96°.故答案为:42°或96°.

6.25°或65°　 若这个三角形是锐角三角形,一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角是50°,因而底角是65°;

若这个三角形是钝角三角形,如图图,AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=40°,故∠BAD=50°.所以∠C=25°.因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.

7.证明:∵AD∥BC,

∴∠DAC=∠C,∠D=∠DBC.

∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.

∵AB=AD,∴∠D=∠ABD.

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠D+∠D=2∠D.∴∠DAC=∠C=∠ABC=2∠D.

8.解:∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA.

∵CD=AD,∴∠C=∠CAD.

∴∠CAD=∠B.

∴∠BDA=∠C+∠CAD=2∠B.

∴∠BAD=2∠B.

∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,

∴5∠B=180°.

∴∠B=36°.

∴∠BDA=2∠B=72°.

9.A

10.B　 ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°.

∴∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.

∵CE是△ABC的角平分线,

∴∠ACE=∠ACB=35°.

11.解:(1)EG⊥BC.

理由:∵AB=AC,D为BC的中点,

∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C.

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.

∵AE=AF,∴∠E=∠AFE.

∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE,

∴∠E=∠BAD.

∴AD∥EG.∴EG⊥BC.

(2)∵∠B=∠C=65°,

∴∠BAC=180°-65°-65°=50°.

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×50°=25°.

∴∠E=∠BAD=25°.

12.解:(1)∵∠AFD=155°,

∴∠DFC=180°-∠AFD=25°.

∵DF⊥BC,DE⊥AB,

∴∠FDC=∠AED=90°.

∴在Rt△FDC中,∠C=90°-25°=65°.

∵AB=BC,

∴∠A=∠C=65°.

∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°.

(2)证明:如图图,连接BF.

∵AB=BC,F是AC的中点,

∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=∠ABC.

∴∠CFD+∠BFD=90°.

∵DF⊥BC,∴∠CBF+∠BFD=90°.

∴∠CFD=∠CBF.

∴∠CFD=∠ABC.

13.解:(1)∵BA=CA,∠BAC=90°,

∴∠B=∠ACB=45°.

∵BD=BA,∴∠BAD=∠BDA=67.5°.

∵CE=CA,∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°.

∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°.

(2)不会改变.理由:设∠CAE=m.

∵CA=CE,∴∠E=∠CAE=m.

∴∠ACB=∠CAE+∠E=2m.

∵在△ABC中,∠BAC=90°,

∴∠B=90°-∠ACB=90°-2m.

∵BD=BA,

∴∠BAD=∠BDA=(180°-∠B)=m+45°.

∴∠DAE=∠BDA-∠E=m+45°-m=45°.

(3)设∠CAE=x,∠BAD=y,则∠E=∠CAE=x,∠BDA=∠BAD=y.

∴∠DAE=∠BDA-∠E=y-x.

又∵∠BAC=∠BAD+∠DAE-∠CAE=2y-2x,∴∠DAE=∠BAC.